Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 152]

Задача 79469

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
Темы:	[	Трапеции (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Длины a, b, c, d четырёх отрезков удовлетворяют неравенствам 0 < a ≤ b ≤ c < d, d < a + b + c. Можно ли из этих отрезков сложить трапецию?

Решение

Ответ: можно. См. решение задачи 78222.

Прислать комментарий

Задача 107755

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Чеканов Ю.В.

У Коли есть отрезок длины k, а у Лёвы — отрезок длины l. Сначала Коля делит свой отрезок на три части, а потом Лёва делит на три части свой отрезок. Если из получившихся шести отрезков можно сложить два треугольника, то выигрывает Лёва, а если нет — Коля. Кто из играющих, в зависимости от отношения k/l, может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?

Решение

Первый случай. Если k > l, то выигрывает Коля: ему достаточно отрезать от k часть, которая будет больше суммы всех остальных.

Например, можно разрезать k на части (рис.)

l + $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ (k - l ), $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ (k - l ), $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ (k - l ).

Тогда самая большая часть l + ${\frac{2}{3}}$ (k - l ) не может быть стороной никакого треугольника: по неравенству треугольника сумма длин двух остальных сторон должна быть больше, но сумма длин всех остальных отрезков (равная l + ${\frac{1}{3}}$ (k - l )) меньше длины этой части.

Второй случай. Если k $\le$ l, то выигрывает Лёва. Пусть Коля разрезал k на части k₁ $\ge$ k₂ $\ge$ k₃. Тогда Лёва разрежет l так, чтобы его большая часть равнялась большей части отрезка Коли, а две другие были равными между собой (рис.):

l = k₁ + $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$ .

Тогда получатся два равнобедренных треугольника:

(k₁, k₁, k₂), $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{l-k_1}2,\frac{l-k_1}2,k_3}\right.$ $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$ , $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$ , k₃ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{l-k_1}2,\frac{l-k_1}2,k_3}\right)$

Действительно, из отрезков a, a, b можно сложить равнобедренный треугольник тогда и только тогда, когда b < 2a. Очевидно, что k₂ < 2k₁. С другой стороны,

2^. $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$ = l - k₁ > k₃,

так как k₁ + k₃ < k $\le$ l.

Прислать комментарий

Задача 54101

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
Темы:	[	Параллелограммы	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Докажите, что в параллелограмме против большего угла лежит большая диагональ.

Подсказка

Пусть ABCD — параллелограмм. Рассмотрите треугольники ABC и ABD.

Решение

Пусть в параллелограмме ABCD угол ABC больше угла BAD. Рассмотрим треугольники ABC и ABD. Поскольку AB — их общая сторона, BC = AD, а $\angle$ ABC > $\angle$ BAD, то AC > BD.

Прислать комментарий

Задача 54791

Тема:

[

Неравенство треугольника (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В вершине A единичного квадрата ABCD сидит муравей. Ему надо добраться до точки C, где находится вход в муравейник. Точки A и C разделяет вертикальная стена, имеющая вид равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой BD. Найдите длину кратчайшего пути, который надо преодолеть муравью, чтобы попасть в муравейник.

Решение

Пусть K — вершина прямого угла треугольника BKD (вертикальной стены). Путь муравья состоит из четырёх отрезков: AM, MP, PM и MC, где точка M лежит на прямой BD, а точка P — на отрезке DK или BK. Ясно, что AM = MC, поэтому достаточно указать точки M и P, для которых путь AMP будет минимальным.

Положим стену так, чтобы вершина K совместилась с C. Тогда точка P совместится с некоторой точкой P₁ отрезка CD (или BC), и

AM + MP = AM + KP₁ $\displaystyle \geqslant$ AP₁ $\displaystyle \geqslant$ AD,

причём это неравенство обращается в равенство только в случае совпадения точек P₁ и D. Следовательно, минимальный путь муравья проходит по сторонам AD и CD (или AB и BC). Длина этого пути равна 2.

Второй способ.

Пусть K — вершина прямого угла треугольника BKD (вертикальной стены). Пусть на своем пути муравей пересекает катет BK. Будем считать, что треугольник BAD представляет собой бумажную складку: линиями сгиба являются BD (дважды) и BK (см.рис.). Развернув эту складку, получим, что путь муравья будет иметь вид отрезка прямой. Таким образом, длина кратчайшего пути равна 2 и кратчайшим является путь по сторонам квадрата в обход препятствия.

Ответ

Прислать комментарий

Задача 66873

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника?

Решение

Пусть $a\leqslant b\leqslant c$ — длины сторон треугольника. Тогда стороны разделятся на такие части: $$a =\frac{ab}{b+c} + \frac{ac}{b+c}, \quad b = \frac{ba}{a+c} +\frac{bc}{a+c}, \quad c=\frac{ca}{a+b}+\frac{cb}{a+b}.$$

Из отрезков, составляющих $c$, первый меньше $a$, а второй меньше $b$ (так как $\frac{c}{a+b}<1$).

Тогда возьмём в первую тройку отрезки $\frac{ab}{b+c}$, $\frac{ac}{b+c}$ составляющие $a$, и отрезок $\frac{ca}{a+b}$. Последний из них наибольший (его знаменатель не больше, а числитель не меньше, чем у других), но меньше $a$.

Во вторую тройку возьмём отрезки $\frac{ba}{a+c}$ и $\frac{bc}{a+c}$, составляющие $b$, и отрезок $\frac{cb}{a+b}$. Последний из них наибольший (аналогично), но меньше $b$.

Возможны и другие способы разбить отрезки на две тройки.

Ответ

обязательно.

Прислать комментарий

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 152]