ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      



Задача 58143

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых трёх его сторон можно выбрать точку O внутри многоугольника так, что перпендикуляры, опущенные из точки O на эти три стороны, попадают на сами стороны, а не на их продолжения. Докажите, что тогда такую точку O можно выбрать для всех сторон одновременно.
б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую точку O можно выбрать, если её можно выбрать для любых двух сторон.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58144

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что внутри любого выпуклого семиугольника есть точка, не принадлежащая ни одному из четырехугольников, образованных четверками его соседних вершин.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58145

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дано несколько параллельных отрезков, причем для любых трех из них найдется прямая, их пересекающая. Докажите, что найдется прямая, пересекающая все отрезки.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58128

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 7
Классы: 8,9

а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников с данными углами и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник.
б) Докажите, что среди всех выпуклых n-угольников A1...An с данными величинами углов Ai и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный n-угольник.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58129

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 7+
Классы: 8,9

Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна S, а её периметр равен P, то S$ \le$P2/4$ \pi$, причём равенство достигается только в случае круга (изопериметрическое неравенство).
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .