ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 79]      



Задача 57770

Тема:   [ Момент инерции ]
Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты такие точки A1 и B2, B1 и C2, C1 и A2, что отрезки A1A2, B1B2 и C1C2 параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, что PA1 . PA2 + PB1 . PB2 + PC1 . PC2 = R2 - OP2, где O — центр описанной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57771

Тема:   [ Момент инерции ]
Сложность: 5
Классы: 9

Внутри окружности радиуса R расположено n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не превосходит n2R2.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57772

Тема:   [ Момент инерции ]
Сложность: 5
Классы: 9

Внутри треугольника ABC взята точка P. Пусть da, db и dc — расстояния от точки P до сторон треугольника, Ra, Rb и Rc — расстояния от нее до вершин. Докажите, что

3(da2 + db2 + dc2)$\displaystyle \ge$(Rasin A)2 + (Rbsin B)2 + (Rcsin C)2.


Прислать комментарий     Решение

Задача 57784

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

а) Вычислите барицентрические координаты точки Нагеля N.
б) Пусть N — точка Нагеля, M — центр масс, I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что $ \overrightarrow{NM}$ = 2$ \overrightarrow{MI}$; в частности точка N лежит на прямой MI.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57785

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

Пусть M — центр масс треугольника ABC, X — произвольная точка. На прямых BC, CA и AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что A1X| AM, B1X| BM и  C1X| CM. Докажите, что центр масс M1 треугольника A1B1C1 совпадает с серединой отрезка MX.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 79]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .