ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      



Задача 35027

Темы:   [ Треугольник (экстремальные свойства) ]
[ Неравенство треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Три офиса A, B и C одной фирмы расположены в вершинах треугольника. В офисе A работают 10 человек, в офисе B - 20, а в офисе C - 30. Где нужно построить столовую, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми сотрудниками фирмы, было бы как можно меньше?

Подсказка

Воспользуйтесь неравенством треугольника.

Решение

Пусть O - место расположения столовой. Тогда суммарное расстояние, проходимое всеми сотрудниками, равно S=10*OA+20*OB+30*OC=10(OA+OC)+20(OB+OC). Согласно неравенству треугольника OA+OC не меньше AC (причем равенство достигается в том и только в том случае, когда O лежит на отрезке AC), OB+OC не меньше BC (причем равенство достигается в том и только в том случае, когда O лежит на отрезке BC). Отсюда следует, что S не меньше, чем 10AC+20BC, причем равенство достигается в том и только в том случае, когда O совпадает с точкой C. Итак, оптимальное расположение для столовой - офис C.

Ответ

в офисе C.
Прислать комментарий


Задача 57521

Темы:   [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Теорема косинусов ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что среди всех треугольников с фиксированным углом $ \alpha$ и площадью S наименьшую длину стороны BC имеет равнобедренный треугольник с основанием BC.

Решение

По теореме косинусов a2 = b2 + c2 - 2bc cos$ \alpha$ = (b - c)2 + 2bc(1 - cos$ \alpha$) = (b - c)2 + 4S(1 - cos$ \alpha$)/sin$ \alpha$. Так как второе слагаемое постоянно, то a минимально, если b = c.
Прислать комментарий


Задача 57522

Темы:   [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Окружность, вписанная в угол ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что среди всех треугольников ABC с фиксированным углом $ \alpha$ и полупериметром p наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник с основанием BC.

Решение

Пусть вневписанная окружность касается сторон AB и AC в точках K и L. Так как AK = AL = p, то вневписанная окружность Sa фиксирована. Радиус r вписанной окружности максимален, когда она касается окружности Sa, т. е. треугольник ABC равнобедренный. Ясно также, что S = pr.
Прислать комментарий


Задача 57524

Темы:   [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Теорема косинусов ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданными стороной a и углом α.
Чему равен максимум суммы квадратов длин сторон b и c?

Решение

По теореме косинусов  b2 + c2 = a2 + 2bc cos α. Так как  2bcb2 + c2  и  cos α > 0,  то  b2 + c2a2 + (b2 + c2) cos α,  то есть
  Равенство достигается при  

Прислать комментарий

Задача 57536

Темы:   [ Экстремальные точки треугольника ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM была бы наименьшей.

Решение

По теореме синусов радиусы описанных окружностей треугольников ACM и BCM равны AC/(2 sin AMC) и BC/(2 sin BMC) соответственно. Легко проверить, что sin AMC = sin BMC. Поэтому AC/(2 sin AMC) + BC/(2 sin BMC) = (AC+BC)/(2 sin BMC). Последнее выражение будет наименьшим, если sin BMC = 1, т. е. CM $ \perp$ AB.
Прислать комментарий


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .