ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 12]      



Задача 57541

 [Точка Торричелли]
Темы:   [ Экстремальные точки треугольника ]
[ Точка Торричелли ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10

Дан треугольник ABC. Найдите внутри его точку O, для которой сумма длин отрезков OA, OB, OC минимальна. (Обратите внимание на тот случай, когда один из углов треугольника больше 120o.)

Решение

Предположим сначала, что все углы треугольника ABC меньше 120o. Тогда внутри его существует точка O, из которой все стороны видны под углом 120o. Проведем через вершины A, B и C прямые, перпендикулярные отрезкам OA, OB и OC. Эти прямые образуют правильный треугольник A1B1C1 (рис.). Пусть O' — любая точка, лежащая внутри треугольника ABC и отличная от точки O. Докажем, что тогда O'A + O'B + O'C > OA + OB + OC, т. е. O — искомая точка. Пусть A', B' и C' — основания перпендикуляров, опущенных из точки O' на стороны B1C1, C1A1 и A1B1, a — длина стороны правильного треугольника A1B1C1. Тогда O'A' + O'B' + O'C' = 2(SO'B1C1 + SO'A1B1 + SO'A1C1)/a = 2SA1B1C1/a = OA + OB + OC. Так как наклонная длиннее перпендикуляра, то O'A + OB + O'C > O'A' + O'B' + O'C' = OA + OB + OC.


Пусть теперь один из углов треугольника ABC, например угол C, больше или равен 120o. Проведем через точки A и B перпендикуляры B1C1 и C1A1 к отрезкам CA и CB, а через точку C — прямую A1B1, перпендикулярную биссектрисе угла ACB (рис.). Так как $ \angle$AC1B = 180o - $ \angle$ACB < 60o, то B1C1 > A1B1. Пусть O' — любая точка, лежащая внутри треугольника A1B1C1. Поскольку B1C1 . O'A' + C1A1 . O'B' + A1B1 . O'C' = 2SA1B1C1, то (O'A'+O'B'+O'C') . B1C1 = 2SA1B1C1 + (B1C1 - A1B1) . O'C'. Так как B1C1 > A1B1, то сумма O'A' + O'B' + O'C' минимальна для точек, лежащих на стороне B1A1. Ясно также, что O'A + O'B + O'C$ \ge$O'A' + O'B' + O'C'. Следовательно, искомой точкой является вершина C.

Прислать комментарий

Задача 57542

Темы:   [ Экстремальные точки треугольника ]
[ Выход в пространство ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Уравнение плоскости ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Найдите внутри треугольника ABC точку O, для которой сумма квадратов расстояний от нее до сторон треугольника минимальна.

Решение

Пусть расстояния от точки O до сторон BC, CA и AB равны x, y и z соответственно. Тогда ax + by + cz = 2(SBOC + SCOA + SAOB) = 2SABC. Ясно также, что x : y : z = (SBOC/a) : (SCOA/b) : (SAOB/c).
Уравнение ax + by + cz = 2S задает плоскость в трехмерном пространстве с координатами x, y, z, причем вектор (a, b, c) перпендикулярен этой плоскости, так как если ax1 + by1 + cz1 = 2S и  ax2 + by2 + cz2 = 2S, то a(x1 - x2) + b(y1 - y2) + c(z1 - z2) = 0. Нам нужно найти точку (x0, y0, z0) этой плоскости, для которой достигается минимум выражения x2 + y2 + z2, и проверить, что этой точке соответствует некоторая внутренняя точка треугольника. Так как x2 + y2 + z2 — это квадрат расстояния от начала координат до точки (x, y, z), то искомой точкой является основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, т. е. x : y : z = a : b : c. Остается проверить, что внутри треугольника существует точка O, для которой x : y : z = a : b : c. Это равенство эквивалентно условию

(SBOC/a) : (SCOA/b) : (SAOB/c) = a : b : c,

т. е. SBOC : SCOA : SAOB = a2 : b2 : c2. А так как равенство SBOC : SAOB = a2 : c2 следует из равенств SBOC : SCOA = a2 : b2 и SCOA : SAOB = b2 : c2, то искомая точка — это точка пересечения прямых CC1 и AA1, делящих стороны AB и BC в отношениях BC1 : C1A = a2 : b2 и CA1 : A1B = b2 : c2 соответственно.
Прислать комментарий

Задача 116190

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Экстремальные точки треугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11

Дан остроугольный треугольник ABC. Прямая, параллельная BC, пересекает стороны AB и AC в точках M и P соответственно. При каком расположении точек M и P радиус окружности, описанной около треугольника BMP, будет наименьшим?

Решение

При любом положении прямой MPBMP = 180° – ∠B.

Используя следствие из теоремы синусов, найдем радиус окружности, описанной около ΔBMP: . Oн принимает наименьшее значение одновременно с длиной отрезка BP, то есть, если BPAC (см. рис.).

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 12]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .