Фильтр
Задачи
Задача 35156 |
|
|
Подсказка
Решение
Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 и пространственный шестиугольник AA1B1C1CDA (его вершины не лежат в одной плоскости). Оказывается, что сквозь этот шестиугольник(а значит, и сквозь куб) можно свободно, не задевая его сторон, протащить куб с ребром 1.
Чтобы убедиться в этом, изобразим на левом рисунке проекцию куба на плоскость, перпендикулярную его
диагонали BD1. В силу симметрии куба эта проекция – правильный шестиугольник А′A′1В′1C′1C′D′, где
A′ – проекция точки A, A′1 – проекция точки A′
и т. д. Таким образом, контур шестиугольника
А′A′1В′1C′1C′D′ – проекция пространственного шестиугольника
АA1В1C1CD, а в центр О правильного
шестиугольника проектируются оба конца диагонали
куба BD1.
Поскольку синус угла между любым ребром куба и его диагональю равен (2/3)1/2, сторона правильного шестиугольника равна (2/3)1/2, а радиус вписанной в него окружности равен 21/2/2 – половине диагонали квадрата со стороной 1. Поэтому в шестиугольнике целиком, не задевая его сторон, поместится квадрат с центром в точке O и стороной 1, как показано на правом рисунке.
Отсюда вытекает, что если поставить куб с ребром 1 так, чтобы его нижняя грань совпала с квадратом на правом рисунке, и двигать куб перпендикулярно плоскости шестиугольника, то куб не заденет сторон шестиугольника. Значит, его можно также протащить и сквозь пространственный шестиугольник вдоль диагонали BD1.
Таким образом, в деревянном кубе можно пробить сквозную дыру, через которую можно протащить такой же (на самом деле, даже чуть больший) куб — см. рисунок ниже.
|
|
Задача 64654 |
|
|
Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по натуральному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?
Решение
См. решение задачи 64660.
|
|
|
Задача 64660 |
|
|
Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по положительному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?
Решение
Докажем что можно ограничиться потерей 101 волоска у каждого мудреца. Пусть первый напишет на карточках числа 1, 2, 4, ..., 299, а второму сообщит эти числа и их сумму. Второй, услышав число 1, поймёт, что есть карточка, не превосходящая 1. Услышав очередное число 2k, он поймёт, что есть ещё одна карточка, не превосходящая 2k, поскольку сумма оценённых уже карточек не превосходит 1 + 2 + ... + 2k–1 < 2k. Когда он услышит 2100 – 1, он уже будет знать, что сумма 100 карточек не больше этого числа. Значит, это и есть сумма, все оценки превращаются в равенства, и второй определит все карточки.
Теперь докажем, что 100 волосков недостаточно. Пусть второму сообщены 100 различных чисел, и a < b – два из них. Тогда все услышанные числа могут быть написаны на карточках. Но кроме этого набора карточек подойдёт и набор с числом b – a вместо b.
|
|
|
Задача 64978 |
|
|
Из высот треугольника можно составить треугольник. Верно ли, что из его биссектрис также можно составить треугольник?
Решение
Возьмём треугольник со сторонами a = 2, b = 3 и c < 5. Для отношений высот имеем hb : ha = 2 : 3, 2/5 < hc : ha < ½. Следовательно,
hb + hc > ha > hb > hc и из высот всегда можно составить треугольник.
С другой стороны, при c → 5 биссектриса lc стремится к нулю, lc – к 3 + 3/8·2 = 33/4, а lb – к 2 + 2/7·3 = 26/7. Значит, при c, близком к 5,
la – lb > lc, и треугольник из биссектрис составить нельзя.
Ответ
Неверно.
|
|
|
Задача 65457 |
|
|
В стране 100 городов, между каждыми двумя городами осуществляется беспосадочный перелёт. Все рейсы платные и стоят положительное (возможно, нецелое) число тугриков. Для любой пары городов А и Б перелёт из А в Б стоит столько же, сколько перелёт из Б в А. Средняя стоимость перелёта равна 1 тугрику. Путешественник хочет облететь какие-нибудь m разных городов за m перелётов, начав и закончив в своём родном городе. Всегда ли ему удастся совершить такое путешествие, потратив на билеты не более m тугриков, если
а) m = 99;
б) m = 100?
Решение
а) Пусть все 99 рейсов из родного города стоят по 49,6 тугриков. Это возможно, поскольку суммарная стоимость всех рейсов (без учёта направлений) равна 99·50 тугриков. Тогда, чтобы вылететь из родного города, а потом вернуться в него, надо уже потратить больше 99 тугриков.
б) Рассмотрим все 99! вариантов кольцевых маршрутов. Суммарно в них каждый возможный перелёт (с учётом направлений) использован по 98! раз. Следовательно, стоимость всех этих маршрутов равна 98!·99·100 тугриков, а средняя стоимость маршрута – 100 тугриков. Значит, найдётся маршрут не дороже 100 тугриков.
Ответ
а) Не всегда; б) всегда.
|
|
|
Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 1024]
