Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 75]

Задача 52937

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Основание AC равнобедренного треугольника ABC является хордой окружности. Эта окружность касается прямых AB и BC в точках A и C соответственно. Известно, что $\angle$ ABC = 120^o, AC = a. Найдите площадь той части треугольника, которая лежит в круге, ограниченном данной окружностью.

Ответ

${\frac{a^{2}(2\pi - 3\sqrt{3})}{12}}$ .

Прислать комментарий

Задача 52936

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прямая, проходящая через точки A и B окружности, рассекает её на две дуги. Длины этих дуг относятся как 1:11. В каком отношении хорда AB делит площадь круга, ограниченного данной окружностью?

Подсказка

Площадь меньшего из сегментов равна разности площадей сектора с углом 30^o и равнобедренного треугольника.

Решение

Точки A и B разбивают окружность на две дуги, меньшая из которых содержит ${\frac{360^{\circ}}{12}}$ = 30^o. Площадь соответствующего сегмента равна разности площадей сектора и треугольника, т.е.

$\displaystyle {\frac{\pi R^{2}}{12}}$ - $\displaystyle {\frac{R^{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{R^{2}(\pi - 3)}{12}}$ ,

где R — радиус круга. Тогда площадь оставшегося сегмента равна

$\displaystyle \pi$ R² - $\displaystyle {\frac{R^{2}(\pi - 3)}{12}}$ = $\displaystyle {\frac{R^{2}( 11\pi + 3)}{12}}$ .

Следовательно, искомое отношение равно ${\frac{\pi - 3}{11\pi + 3}}$ .

Ответ

${\frac{\pi - 3}{11\pi + 3}}$ .

Прислать комментарий

Задача 54505

[Луночки Гиппократа]

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных "луночек" равна площади треугольника.

Подсказка

Пусть a и b — катеты треугольника, c — гипотенуза. Тогда сумма площадей сегментов, отсекаемых катетами от описанного круга данного треугольника, равна ${\frac{\pi c^{2}}{8}}$ - ${\frac{ab}{2}}$ .

Решение

Пусть a и b — катеты треугольника, c — гипотенуза. Тогда сумма площадей указанных "луночек" равна

$\displaystyle {\frac{\pi a^{2}}{8}}$ - s₁ + $\displaystyle {\frac{\pi b^{2}}{8}}$ - s₂,

где s₁ и s₂ — площади сегментов, отсекаемых катетами от описанного круга данного треугольника. Ясно, что

s₁ + s₂ = $\displaystyle {\frac{\pi c^{2}}{8}}$ - $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$ .

Следовательно, искомая сумма равна

$\displaystyle {\frac{\pi a^{2}}{8}}$ + $\displaystyle {\frac{\pi b^{2}}{8}}$ - (s₁ + s₃) = $\displaystyle {\frac{\pi (a^{2} + b^{2})}{8}}$ - $\displaystyle {\frac{\pi c^{2}}{8}}$ + $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{8}}$ + $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$ .

Прислать комментарий

Задача 102263

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Полуокружность радиуса r разделена точками на 3 равные части, и точки деления соединены хордами с одним и тем же концом диаметра, стягивающего эту полуокружность. Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя хордами и заключённой между ними дугой.

Подсказка

Пусть CD — диаметр, O — середина CD, а DA, AB и BC — хорды. Тогда искомая площадь равна площади сектора AOB,

Решение

Пусть CD — диаметр, O — середина CD, а DA, AB и BC — хорды. Треугольники AOD, AOB и BOC — равносторонние, $\angle$ AOD = $\angle$ AOB = $\angle$ BOC = 60^o, поэтому AB $\Vert$ DC. Значит, S_ADB = S_AOB. В задаче требуется найти пощадь фигуры, составленной из треугольника ADB и сегмента AB, ограниченного дугой AB, не содержащей точку D. Заметим, что сектор AOB состоит из треугольника AOB и этого же сегмента, следовательно, искомая площадь равна площади сектора AOB, т.е. шестой части площади соответствующего круга. Таким образом, искомая площадь равна ${\frac{\pi r^{2}}{6}}$ .

Ответ

${\frac{\pi r^{2}}{6}}$ .

Прислать комментарий

Задача 102319

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите или опровергните следующее утверждение: круг площадью ${\frac{25}{8}}$ можно поместить внутрь треугольника со сторонами 3, 4 и 5.

Подсказка

Если r — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c, то r = ${\frac{a+b-c}{2}}$ . Воспользуйтесь также неравенством $\pi$ < 3, 15

Решение

Поскольку 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², то треугольник — прямоугольный. Пусть r — радиус окружности, вписанной в данный треугольник, R — радиус данного круга, S — его площадь. Тогда r = ${\frac{3+4-5}{2}}$ = 1, а т.к S = $\pi$ R², то R = $\sqrt{\frac{S}{\pi}}$ = ${\frac{5}{2\pi \sqrt{2}}}$ . Поскольку $\pi$ > 3, 14 и $\sqrt{2}$ > 1, 4, то

2 $\displaystyle \pi$ $\displaystyle \sqrt{2}$ > 2^.3, 14^.1, 4 = 6, 392 > 5,

поэтому

R = $\displaystyle {\frac{5}{2\pi \sqrt{2}}}$ < 1 = r

Следовательно, данный круг можно поместить в треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

Ответ

Утверждение верно.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 75]