Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 223]
Докажите, что в треугольнике шесть точек — середины сторон
и основания высот — лежат на одной окружности ("окружности
девяти точек").
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$.
Серединный перпендикуляр к отрезку $BB_1$ пересекает прямые $AA_1$, $CC_1$ в точках $A_0$, $C_0$. Докажите, что описанные окружности треугольников
$A_0IC_0$ и $ABC$ касаются.
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$ с центром $O$. Точка $A’$ диаметрально противоположна $A$ на $\omega$. На меньшей дуге $BC$ окружности $\omega$ выбрана точка $D$. Точка $D’$ симметрична $D$ относительно стороны $BC$. Прямая $A’D’$ вторично пересекает $\omega$ в точке $E$. Серединный перпендикуляр к $D’E$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что $\angle FOG=180^\circ-2\angle BAC$.
В треугольнике
ABC на стороне
AC нашлись такие точки
D и
E , что
AB=AD и
BE=EC (
E между
A и
D ).
Точка
F – середина дуги
BC (не содержащей точки
A )
окружности, описанной около треугольника
ABC . Докажите,
что точки
B ,
E ,
D и
F лежат на одной окружности.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AE и CD. Различные точки F и G на стороне AC таковы, что
DF || BC и EG || AB. Докажите, что точки D, E, F и G лежат на одной окружности.
Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 223]