ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 289]      



Задача 55466

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.

Подсказка

Если BB1 и CC1 — высоты данного треугольника ABC, то BB1 и CC1 — пересекающиеся хорды одной окружности.

Решение

Пусть AA1, BB1 и CC1 — высоты остроугольного треугольника ABC, H — их точка пересечения, $ {\frac{AH}{A_{1}H}}$ = $ {\frac{BH}{B_{1}H}}$ = $ {\frac{CH}{C_{1}H}}$ = k.

Отрезок BC виден из точек B1 и C1 под прямым углом. Следовательно, точки B, C1, B1 и C лежат на окружности с диаметром BC. По теореме об отрезках пересекающихся хорд

BH . B1H = CH . C1H, или $\displaystyle {\frac{k}{(k+1)^{2}}}$ . BB21 = $\displaystyle {\frac{k}{(k+1)^{2}}}$ . CC21.

Поэтому BB1 = CC1.

Из равенства прямоугольных треугольников AB1B и AC1C (по катету и острому углу) следует, что AB = AC. Аналогично AB = BC.

Прислать комментарий


Задача 35721

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Неравенства с углами ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Четырехугольник (неравенства) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что если в четырехугольнике два противоположные угла тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.

Подсказка

Пусть B и D - вершины тупых углов четырехугольника ABCD. Постройте на диагонали AC как на диаметре окружность.

Решение

Пусть B и D - вершины тупых углов четырехугольника ABCD. Построим на диагонали AC как на диаметре окружность. Тогда точки B и D лежат внутри этой окружности. Пусть прямая BD пересекает окружность в точках M и N. Тогда BD<MN, но MN не меньше AC, так как длина хорды окружности не превосходит диаметра этой окружности.
Прислать комментарий


Задача 52853

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Из точки A, расположенной вне окружности, проведены две касательные AM и AN (M и N — точки касания) и секущая, пересекающая окружность в точках P и Q. Пусть L — середина PQ. Докажите, что $ \angle$MLA = $ \angle$NLA.

Подсказка

Если O - центр данной окружности, точки O, L, M, A и N лежат на одной окружности.

Решение

Пусть O - центр окружности. Тогда OL $ \perp$ AL. Отрезок OA виден из точек L, M и N под прямым углом. Поэтому точки O, L, M, A и N лежат на одной окружности.

Поскольку AM = AN, то $ \angle$MLA = $ \angle$NLA.

Прислать комментарий


Задача 53079

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол B — прямой, величина угол C равен $ \alpha$ ( $ \alpha$ > $ {\frac{\pi}{4}}$), точка D — середина гипотенузы. Точка A1 симметрична точке A относительно прямой BD. Найдите угол BA1C.

Ответ

$ {\frac{\pi}{2}}$ - $ \alpha$.

Прислать комментарий


Задача 53625

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Внутри угла с вершиной O взята некоторая точка M. Луч OM образует со сторонами угла углы, один из которого больше другого на 10o; A и B — проекции точки M на стороны угла. Найдите угол между прямыми AB и OM.

Подсказка

Точки A, O, B и M лежат на одной окружности.

Решение

Пусть

$\displaystyle \angle$BOM = $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \angle$AOM = $\displaystyle \alpha$ + 10o,

P — точка пересечения прямых AB и OM.

Поскольку отрезок OM виден из точек A и B под прямым углом, то точки A и B лежат на окружности с диаметром OM, а APO — внешний угол треугольника APM. Следовательно,

$\displaystyle \angle$APO = $\displaystyle \angle$AMO + $\displaystyle \angle$BAM =

= (90o - $\displaystyle \angle$AOM) + $\displaystyle \angle$BOM = 90o - ($\displaystyle \alpha$ + 10o) + $\displaystyle \alpha$ = 80o

Ответ

80o.

Прислать комментарий


Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 289]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .