ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 289]
Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.
ПодсказкаЕсли BB1 и CC1 — высоты данного треугольника ABC, то BB1 и CC1 — пересекающиеся хорды одной окружности.
РешениеПусть AA1, BB1 и CC1 — высоты остроугольного треугольника ABC, H — их точка пересечения, = = = k. Отрезок BC виден из точек B1 и C1 под прямым углом. Следовательно, точки B, C1, B1 и C лежат на окружности с диаметром BC. По теореме об отрезках пересекающихся хорд
BH . B1H = CH . C1H, или . BB21 = . CC21.
Поэтому
BB1 = CC1.
Из равенства прямоугольных треугольников AB1B и AC1C (по катету и острому углу) следует, что AB = AC. Аналогично AB = BC.
ПодсказкаПусть B и D - вершины тупых углов четырехугольника ABCD. Постройте на диагонали AC как на диаметре окружность.РешениеПусть B и D - вершины тупых углов четырехугольника ABCD. Построим на диагонали AC как на диаметре окружность. Тогда точки B и D лежат внутри этой окружности. Пусть прямая BD пересекает окружность в точках M и N. Тогда BD<MN, но MN не меньше AC, так как длина хорды окружности не превосходит диаметра этой окружности.
ПодсказкаЕсли O - центр данной окружности, точки O, L, M, A и N лежат на одной окружности.
РешениеПусть O - центр окружности. Тогда OL AL. Отрезок OA виден из точек L, M и N под прямым углом. Поэтому точки O, L, M, A и N лежат на одной окружности.Поскольку AM = AN, то MLA = NLA.
В треугольнике ABC угол B — прямой, величина угол C равен ( > ), точка D — середина гипотенузы. Точка A1 симметрична точке A относительно прямой BD. Найдите угол BA1C.
Ответ- .
Внутри угла с вершиной O взята некоторая точка M. Луч OM образует со сторонами угла углы, один из которого больше другого на 10o; A и B — проекции точки M на стороны угла. Найдите угол между прямыми AB и OM.
ПодсказкаТочки A, O, B и M лежат на одной окружности.
РешениеПусть
BOM = , AOM = + 10o,
P — точка пересечения прямых AB и OM.
Поскольку отрезок OM виден из точек A и B под прямым углом, то точки A и B лежат на окружности с диаметром OM, а APO — внешний угол треугольника APM. Следовательно,
APO = AMO + BAM =
= (90o - AOM) + BOM = 90o - ( + 10o) + = 80o
Ответ80o.
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 289] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|