ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 289]      



Задача 52692

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В равносторонний треугольник ABC вписана полуокружность с центром O на стороне AB. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны BC и CA в точках M и N соответственно, а прямая, соединяющая точки касания сторон AB и AC с полуокружностью, пересекает отрезки OM и ON в точках Q и P.
Докажите, что  MN = 2PQ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52838

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

На стороне квадрата во внешнюю сторону построен прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает со стороной квадрата. Докажите, что биссектриса прямого угла этого треугольника делит плошадь квадрата пополам.

Прислать комментарий     Решение


Задача 52903

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Тоом А.Л.

Точка K лежит на стороне BC треугольника ABC.
Докажите, что соотношение  AK² = AB·AC – KB·KC  выполнено тогда и только тогда, когда  AB = AC  или  ∠BAK = ∠CAK.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53055

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол C – тупой, D – точка пересечения прямой DB, перпендикулярной к AB, и прямой DC, перпендикулярной к AC. Высота треугольника ADC, проведённая из вершины C, пересекает AB в точке M. Известно, что  AM = a,  MB = b.  Найдите AC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53574

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Точки A, B, C, D, E и F расположены на окружности. Хорды EC и AD пересекаются в точке M, а хорды BE и DF — в точке N. Докажите, что если хорды AB и CF параллельны, то они параллельны также прямой MN.

Прислать комментарий     Решение


Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 289]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .