ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 289]      



Задача 53073

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Три прямые проходят через точку O и образуют попарно углы в 60o. Из произвольной точки M, отличной от O, опущены перпендикуляры на эти прямые. Докажите, что основания перпендикуляров являются вершинами правильного треугольника.

Подсказка

Основания перпендикуляров, точка M и общая точка прямых лежат на одной окружности.

Решение

Предположим, что точка M расположена, как показано на рисунке. Пусть A1, A2, A3 — проекции точки M на эти прямые.

Поскольку отрезок OM виден из точек A1, A2, A3 под прямым углом, то точки O, M, A1, A2, A3 лежат на окружности с диаметром OM. Тогда

$\displaystyle \angle$A2A1A3 = $\displaystyle \angle$A2OA3 = 60o$\displaystyle \angle$A1A3A2 = $\displaystyle \angle$A1OA2 = 60o.

Следовательно, треугольник A1A2A3 — равносторонний.

Аналогично для любого другого положения точки M.

Прислать комментарий


Задача 53221

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Два равных равнобедренных треугольника ABC и DBE ( AB = BC = DB = BE) имеют общую вершину B и лежат в одной плоскости, причём точки A и C находятся по разные стороны от прямой BD, а отрезки AC и DE пересекаются в точке K. Известно, что $ \angle$ABC = $ \angle$DBE = $ \alpha$ < $ {\frac{\pi}{2}}$, $ \angle$AKD = $ \beta$ < $ \alpha$. В каком отношении прямая BK делит угол ABC?

Подсказка

$ \angle$ABD = $ \angle$CBE = $ \beta$

Решение

Поскольку

$\displaystyle \angle$ABD = $\displaystyle \angle$ABC - $\displaystyle \angle$DBC$\displaystyle \angle$CBE = $\displaystyle \angle$DBE - $\displaystyle \angle$DBC$\displaystyle \angle$ABC = $\displaystyle \angle$DBE,

то $ \angle$ABD = $ \angle$CBE. Точки A, D, C, E лежат на окружности с центром в точке B и радиусом, равным AB. Поэтому $ \angle$DAK = $ \angle$CEK.

Отрезок BK виден из точек A и D под одним углом ( $ \angle$BAK = $ \angle$BDK). Поэтому точки A, D, K и B расположены на одной окружности. Следовательно, $ \angle$DBK = $ \angle$DAK. Аналогично докажем, что $ \angle$CBK = $ \angle$CEK. Поэтому

$\displaystyle \angle$ABK = $\displaystyle \angle$ABD + $\displaystyle \angle$DBK = $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle {\frac{\alpha - \beta}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\alpha + \beta}{2}}$$\displaystyle \angle$KBC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$DBC = $\displaystyle {\frac{\alpha - \beta}{2}}$.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{\angle ABK}{\angle KBC}}$ = $\displaystyle {\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta}}$.

Ответ

$ {\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta}}$.

Прислать комментарий


Задача 53624

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Сторона AD вписанного четырёхугольника ABCD является диаметром описанной окружности, M — точка пересечения диагоналей, P — проекция M на AD. Докажите, что M — центр окружности, вписанной в треугольник BCP.

Подсказка

Точки P, M, C и D лежат на одной окружности.

Решение

Поскольку AD — диаметр окружности, то $ \angle$ACD = 90o. Поэтому отрезок DM виден из точек C и P под прямым углом. Значит, точки C и P лежат на окружности с диаметром DM. Следовательно,

$\displaystyle \angle$MCP = $\displaystyle \angle$MDP = $\displaystyle \angle$BDA = $\displaystyle \angle$BCA = $\displaystyle \angle$BCM,

т.е. CA - биссектриса угла BCP треугольника BCP.

Аналогично докажем, что BM — биссектриса угла CBP треугольника BCP.

Прислать комментарий


Задача 52473

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Вне правильного треугольника ABC, но внутри угла BAC взята точка M так, что угол CMA равен 30o и угол BMA равен $ \alpha$. Найдите угол ABM.

Подсказка

Проведите окружность в центром в точке B и радиусом BA. Точка M принадлежит этой окружности.

Решение

С центром в точке B и радиусом BA проведем окружность. Тогда точка M принадлежит этой окружности. Значит, треугольник ABM — равнобедренный. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ABM = 180o - 2$\displaystyle \angle$AMB = 180o - 2$\displaystyle \alpha$.

Ответ

180o - 2$ \alpha$.

Прислать комментарий


Задача 52482

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Диаметр, основные свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Основание CD, диагональ BD и боковая сторона AD трапеции ABCD равны p. Боковая сторона BC равна q. Найдите диагональ AC.

Подсказка

Проведите окружность с центром в точке D и радиусом p.

Решение

Окружность с центром в точке D и радиусом p проходит через точки A, B и C. Если CC1 — диаметр окружности, то ABCC1 — равнобедренная трапеция, AC1 = BC = q.

Поскольку $ \angle$CAC1 = 90o (точка A лежит на окружности с диаметром CC1), то

AC2 = CC21 - AC21 = 4p2 - q2.

Окружность с центром в точке D и радиусом p проходит через точки A, B и C. Если CC1 — диаметр окружности, то ABCC1 — равнобедренная трапеция, AC1 = BC = q.

Поскольку $ \angle$CAC1 = 90o (точка A лежит на окружности с диаметром CC1), то

AC2 = CC21 - AC21 = 4p2 - q2.

Окружность с центром в точке D и радиусом p проходит через точки A, B и C. Если CC1 — диаметр окружности, то ABCC1 — равнобедренная трапеция, AC1 = BC = q.

Поскольку $ \angle$CAC1 = 90o (точка A лежит на окружности с диаметром CC1), то

AC2 = CC21 - AC21 = 4p2 - q2.

Ответ

$ \sqrt{4p^{2}-q^{2}}$.

Прислать комментарий


Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 289]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .