ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 56]      



Задача 116141

Темы:   [ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC и точки P и Q. Известно, что треугольники, образованные проекциями P и Q на стороны ABC, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая PQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108246

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Сонкин М.

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D . Окружность, описанная около треугольника BCD , пересекает сторону AC в точке M , а окружность, описанная около треугольника ACD , пересекает сторону BC в точке N (точки M и N отличны от точки C ). Пусть O – центр описанной окружности треугольника CMN . Докажите, что прямая OD перпендикулярна стороне AB .
Прислать комментарий     Решение


Задача 110779

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Биссектриса угла ]
[ Гомотетичные многоугольники ]
Сложность: 5+
Классы: 10

Проекции точки X на стороны четырёхугольника ABCD лежат на одной окружности. Y – точка, симметричная X относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки B на прямые AX, XC, CY, YA также лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109732

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

На плоскости даны два таких конечных набора P1 и P2 выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов P1 и P2 есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78145

Темы:   [ Неравенства с площадями ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 6+
Классы: 10,11

Проекции плоского выпуклого многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов соответственно равны 4, 3$ \sqrt{2}$, 5, 4$ \sqrt{2}$. Площадь многоугольника равна S. Доказать, что S$ \ge$10.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 56]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .