Страница:
<< 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 144]
Дан правильный треугольник ABC. Некоторая прямая,
параллельная прямой AC, пересекает прямые AB и BC в точках M и P
соответственно. Точка D — центр правильного треугольника PMB,
точка E — середина отрезка AP. Найдите углы треугольника DEC.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10
|
Внутри квадрата
A1A2A3A4 взята точка P. Из вершины
A1 опущен перпендикуляр на A2P, из A2 — перпендикуляр
на A3P, из A3 — на A4P, из A4 — на
A1P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения)
пересекается в одной точке.
Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём 2∠MON = ∠AOC. Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны AC.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы ``Г'' . Концы
коротких палочек у букв ``Г'' обозначим через
A и
A'. Длинные палочки
разделены на
n равных частей точками
a1, ...,
an - 1;
a'1,
...,
a'n - 1 (точки деления нумеруются от концов длинных палочек).
Проводятся прямые
Aa1,
Aa2, ...,
Aan - 1;
A'a1,
A'a'2,
...,
A'a'n - 1. Точку пересечения прямых
Aa1 и
A'a1 обозначим
через
X1, прямых
Aa2 и
A'a2 — через
X2 и т.д. Доказать, что
точки
X1,
X2, ...,
Xn - 1 образуют выпуклый многоугольник.
Примечание Problems.Ru: Предполагается, что данные фигуры совмещаются движением, сохраняющим ориентацию.
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной
линии, он пробежал 30 километров.
Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.
Страница:
<< 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 144]