ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 65]      



Задача 115882

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шноль Д.Э.

Биссектрисы углов трапеции образуют при пересечении четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями.
Докажите, что трапеция равнобокая.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116561

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC точки C0 и B0 – середины сторон AB и AC соответственно, O – центр описанной окружности, H – точка пересечения высот. Прямые BH и OC0 пересекаются в точке P, а прямые CH и OB0 – в точке Q. Оказалось, что четырёхугольник OPHQ – ромб. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116932

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, касается его сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Пусть B1H – высота треугольника A1B1C1. Докажите, что точка H лежит на биссектрисе угла CAB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52999

Темы:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Формула Герона ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол C – тупой; биссектриса BE угла B делит сторону AC на отрезки  AE = 3,  EC = 2.  Известно, что точка K, лежащая на продолжении стороны BC за вершину C, является центром окружности, проходящей через точки C, E и точку пересечения биссектрисы угла B с биссектрисой угла ACK.
Найдите расстояние от точки E до стороны AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56512

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

а) Докажите, что высоты AA1, BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC делят углы треугольника A1B1C1 пополам.
б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 соответственно.
Докажите, что если  ∠B1A1C = ∠BA1C1,  ∠A1B1C = ∠AB1C1  и  ∠A1C1B = ∠AC1B1,  то точки A1, B1 и C1 являются основаниями высот треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 65]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .