ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 58]      



Задача 57068

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 9

Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским (см. рис.).
Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65521

Темы:   [ Перегруппировка площадей ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Через точку P проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника ABC (см. рисунок).
Докажите, что площади треугольников A1B1C1 и A2B2C2 равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65821

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Отношения площадей (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E, F.
Докажите, что отношение  SDEF : SABC   а) больше 1;   б) не меньше 2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97916

Темы:   [ Покрытия ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98455

Темы:   [ Неравенства для площади треугольника ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Монотонность, ограниченность ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
  а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
  б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 58]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .