Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 316]      

Три богатыря бьются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает Змею половину всех голов и ещё одну, Добрыня Никитич – треть всех голов и ещё две, Алёша Попович – четверть всех голов и ещё три. Богатыри бьют по одному в каком хотят порядке, отрубая каждым ударом целое число голов. Если ни один богатырь не может ударить (число голов получается нецелым), Змей съедает всех троих. Смогут ли богатыри отрубить все головы 41!-головому Змею?

Решение

  Если число голов чётно, богатыри могут уменьшить его, сохранив чётность. Действительно, если голов  $4n - 2$,  то после удара Ильи их станет  $2n - 2$.
  Если же голов 4$n$, то после удара Алёши их станет  $3n - 3$,  а после следующего за ним удара Добрыни их станет  $2n - 4$.
  Богатыри могут так действовать, пока не останется четыре или две головы, для которых хватит одного удара Алёши или Ильи соответственно.

Ответ

Смогут.

Прислать комментарий

12 полей расположены по кругу: на четырёх соседних полях стоят четыре разноцветных фишки: красная, жёлтая, зелёная и синяя. Одним ходом можно передвинуть любую фишку с поля, на котором она стоит, через четыре поля на пятое (если оно свободно) в любом из двух возможных направлений. После нескольких ходов фишки стали опять на те же четыре поля. Как они могут при этом переставиться?

Решение

Ответ: КЖЗС, СЗКЖ, ЖКСЗ, ЗСЖК. Сделаем копии наших 12 полей и расположим их по кругу в следующем порядке: 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7, 12, 5, 10, 3, 8. На новом круге фишки ходят просто на соседнее поле (справа или слева). Поэтому любое передвижение, при котором фишки поменялись местами, представляет собой перемещение по новому кругу в одном направлении. На круге с четырьмя полями с номерами 1, 4, 2, 3 происходит циклическая перестановка, поэтому из набора КСЖЗ мы поучаем наборы СЖЗК, ЖЗКС, ЗКСЖ. Вернувшись к исходной нумерации 1, 2, 3, 4, получим наборы СЗКЖ, ЖКСЗ, ЗСЖК.

Прислать комментарий

Над строкой из четырёх чисел 1, 9, 8, 8 проделаем следующую операцию: между каждыми двумя соседними числами впишем число, которое получится в результате вычитания левого числа из правого. Над новой строкой проделаем ту же операцию и т.д. Найдите сумму чисел строки, которая получится после ста таких операций.

Решение

Посмотрим, как изменяется сумма чисел строки после одной операции. Пусть a₁, a₂,..., a_n — строка, к которой применяется операция. Тогда новая строка имеет вид a₁, a₂ − a₁, a₂, a₃ − a₂,..., a_n−1, a_n − a_n−1, a_n. Сумма чисел новой строки равна a₁ + ... + a_n + (a₂ − a₁) + (a₃ − a₂) + ... + (a_n − a_n−1) = s + a_n − a₁, где s — сумма чисел исходной строки. Заметим теперь, что для любой строки, полученной из строки 1, 9, 8, 8 описанной в условии задачи операцией, a_n = 8, a₁ = 1. Следовательно, после каждой такой операции сумма чисел увеличивается на семь. Сумма чисел исходной строки равно 26. Следовательно, сумма чисел строки, которая получится после ста таких операций, равна 26 + 7 · 100 = 726.

Ответ

726

Прислать комментарий

Часть клеток бесконечной клетчатой бумаги покрашена в красный цвет, остальные — в белый (не обязательно в шахматном порядке). По красным клеткам прыгает кузнечик, по белым — блоха, причём каждый прыжок может быть сделан на любое расстояние по вертикали или горизонтали. Докажите, что кузнечик и блоха могут оказаться рядом, сделав в общей сложности (в сумме) не более трёх прыжков.

Решение

Докажем сначала, что если кузнечик и блоха сидят на одной линии (вертикали или горизонтали), то они могут оказаться рядом, сделав в общей сложности не более двух прыжков. Действительно, на этой линии есть клетки обоих цветов, а значит, есть соседние клетки, одна из которых покрашена в красный цвет, а другая в белый. Следовательно, кузнечик может прыгнуть в одну из них, а блоха — в другую. Итак, если кузнечик и блоха сидят на одной линии, то они могут оказаться рядом, сделав в сумме не более двух прыжков. Докажем теперь, что кузнечик и блоха могут за один прыжок оказаться на одной линии. Для этого проведём вертикаль, на которой сидит кузнечик, и горизонталь, на которой сидит блоха. Так как клетка их пересечения покрашена в один из цветов, то либо кузнечик, либо блоха могут прыгнуть в эту клетку. После этого прыжка они окажутся на одной линии. Итак, где бы ни сидели кузнечик и блоха, они могут за один прыжок оказаться на одной линии, а потом не более чем за два прыжка оказаться рядом, т. е. они могут оказаться рядом не более чем за три прыжка.

Прислать комментарий

Даны 1000 линейных функций:  f_k(x) = p_kx + q_k  (k = 1, 2, ..., 1000).  Нужно найти значение их композиции  f(x) = f₁(f₂(f₃(...f₁₀₀₀(x)...)))  в точке x₀. Докажите, что это можно сделать не более чем за 30 стадий, если на каждой стадии можно параллельно выполнять любое число арифметических операций над парами чисел, полученных на предыдущих стадиях, а на первой стадии используются числа  p₁, p₂, ..., p₁₀₀₀,  q₁, q₂, ..., q₁₀₀₀,  x₀.

Решение

    f(x) = p₁p₂ ... p₁₀₀₀x₀ + p₁p₂ ... p₉₉₉q₁₀₀₀ + p₁p₂ ...p₉₉₈q₉₉₉ + ... + p₁q₂ + q₁.
  Самое "длинное" из слагаемых – произведение 1001 числа  p₁p₂ ...p₁₀₀₀x₀  – вычисляется за 10 стадий, поскольку  1001 < 2¹⁰:  на первой стадии вычисляем 500 произведений  p₁p₂, p₃p₄, ..., p₉₉₉p₁₀₀₀,  на второй – 250 произведений  (p₁p₂)(p₃p₄), ..., (p₉₉₇p₉₉₈)(p₉₉₉p₁₀₀₀)
и т. д. Параллельно вычислим все остальные слагаемые.
  Аналогично за 10 следующих стадий можно вычислить сумму  f(x)  1001 слагаемого.

Прислать комментарий

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 316]