Страница:
<< 7 8 9 10 11
12 13 >> [Всего задач: 63]
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них
найдутся два, угол между которыми меньше 45°.
Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис.).
Чему равен периметр внутреннего пятиугольника ABCDE, если длина исходной ломаной равна 1?
|
|
Сложность: 4+ Классы: 10,11
|
Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна n ctg π/2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно nn/2.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 10,11
|
Плоскость проходит через сторону основания правильной
четырёхугольной пирамиды и делит пополам двугранный угол при этой стороне.
Найдите площадь основания пирамиды наименьшего объёма, если известно, что
указанная плоскость пересекает высоту пирамиды в точке, удалённой на
расстояние
d от плоскости основания.
[Метод Архимеда]
|
|
Сложность: 3 Классы: 9,10,11
|
Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные
n-угольники. Обозначим их периметры через Pn (для описанного) и pn (для вписанного).
а) Найдите P4, p4, P6 и p6.
б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:
P2n = , p2n = (n ≥ 3).
в) Найдите P96 и p96. Докажите неравенства 310/71 < π < 31/7.
Страница:
<< 7 8 9 10 11
12 13 >> [Всего задач: 63]