ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 45]      



Задача 109741

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Монотонность и ограниченность ]
[ Кубические многочлены ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Многочлен  P(x) = x³ + ax² + bx + c  имеет три различных действительных корня, а многочлен P(Q(x)), где  Q(x) = x² + x + 2001,  действительных корней не имеет. Докажите, что  P(2001) > 1/64.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110183

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Монотонность и ограниченность ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Найдите все такие пары  (a, b)  натуральных чисел, что при любом натуральном n число  an + bn  является точной (n+1)-й степенью.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110002

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Монотонность и ограниченность ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110069

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Монотонность и ограниченность ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109798

Темы:   [ Необычные конструкции ]
[ Монотонность и ограниченность ]
[ Ограниченность, монотонность ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Пусть M={x1, .., x30} – множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; An ( 1 n 30 ) – сумма всевозможных произведений различных n элементов множества M . Докажите, что если A15>A10 , то A1>1 .
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .