Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 >> [Всего задач: 30]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
От правильного октаэдра со стороной 1 отрезали шесть углов – пирамидок с квадратным основанием и ребром ⅓. Получился многогранник, грани которого – квадраты и правильные шестиугольники. Можно ли копиями такого многогранника замостить пространство?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Муравей ползает по замкнутому маршруту по рёбрам додекаэдра, нигде не разворачиваясь назад. Маршрут проходит ровно два раза по каждому ребру.
Докажите, что некоторое ребро муравей оба раза проходит в одном и том же направлении.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
Грани правильного октаэдра раскрашены в белый и черный цвет. При
этом любые две грани, имеющие общее ребро, покрашены в разные цвета.
Докажите, что для любой точки внутри октаэдра сумма расстояний до плоскостей
белых граней равна сумме расстояний до плоскостей черных граней.
|
|
|
Сложность: 7-
Классы: 10,11
|
Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать
четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на
любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же
плоскость) исходного многогранника: а) больше,
чем
, б) не меньше, чем
, в)
не меньше, чем
?
а) Мальвина разбила каждую грань куба 2×2×2 на единичные квадраты и велела Буратино в некоторых квадратах написать крестики, а в остальных нолики так, чтобы каждый квадрат граничил по сторонам с двумя крестиками и двумя ноликами. На рисунке показано, как Буратино выполнил задание (видно только три грани). Докажите, что Буратино ошибся.
б) Помогите Буратино выполнить задание правильно. Достаточно описать хотя бы одну верную расстановку.
Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 >> [Всего задач: 30]
Фильтр
