ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]      



Задача 116839

Темы:   [ Центр масс ]
[ Сферы (прочее) ]
[ Правильные многогранники (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Линейные зависимости векторов ]
[ Скалярное произведение ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

а) Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.

б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66598

Темы:   [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ]
[ Остовы многогранных фигур ]
[ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Выпуклый многогранник с вершинами в серединах ребер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?
Прислать комментарий     Решение


Задача 76432

Темы:   [ Комбинаторика орбит ]
[ Раскраски ]
[ Правило произведения ]
[ Правильные многогранники (прочее) ]
[ Куб ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

  а) Выбраны 6 различных цветов; требуется раскрасить 6 граней куба, каждую в особый цвет из числа избранных. Сколькими геометрически различными способами можно это сделать? Геометрически различными называются две такие расцветки, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.
  б) Решить ту же задачу для случая раскраски граней додекаэдра в 12 различных цветов.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110756

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Выпуклые тела ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Параллельный перенос ]
[ Правильные многогранники (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Каждое ребро выпуклого многогранника параллельно перенесли на некоторый вектор так, что ребра образовали каркас нового выпуклого многогранника. Обязательно ли он равен исходному?
Прислать комментарий     Решение


Задача 98392

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Метод координат на плоскости ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Правильные многогранники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Положительные числа A, B, C и D таковы, что система уравнений
    x² + y² = A,
    |x| + |y| = B
имеет m решений, а система уравнений
    x² + y² + z² = C,
    |x| + |y| + |z| = D
имеет n решений. Известно, что  m > n > 1.  Найдите m и n.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .