ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 103]      



Задача 109858

Темы:   [ Свойства сечений ]
[ Куб ]
[ Признаки подобия ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

В прямоугольном параллелепипеде одно из сечений является правильным шестиугольником. Докажите, что этот параллелепипед – куб.

Решение

  Достроим шестиугольник до правильного треугольника (см. рис.).

  Вершины K, L и M этого треугольника лежат на продолжениях рёбер AB, AA1 и AD параллелепипеда. Из равенства прямоугольных треугольников KLA и MLA
(KL = LMAL – общий катет) следует, что  KA = MA.  Аналогично  KA = LA.  Так как  PQ  = 1/3 KM,  то из подобия треугольников LPQ и LKM, LPA1 и LKA следует, что  AA1 = 2/3 AL.  Аналогично  AB = 1/3 AK  и  AD = 2/3 AM.  Итак,  AB = AA1 = AD  и, значит, параллелепипед – куб.

Прислать комментарий

Задача 86937

Темы:   [ Свойства сечений ]
[ Параллелепипеды (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Точки M , N , K – середины рёбер AB , BC и DD1 соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью MNK . В каком отношении эта плоскость делит ребро CC1 и диагональ DB1 ?

Решение

Продолжим отрезки MN и DC до пересечения в точке Q (рис.1). Точка Q лежит в секущей плоскости (т.к. она принадлежит прямой MN ) и в плоскости грани CDD1C1 (т.к. она принадлежит прямой DC , лежащей в этой плоскости). Следовательно, прямая QK является прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани CDD1C1 . Обозначим через E точку пересечения этой прямой с ребром CC1 . Аналогично построим точку P пересечения прямой MN с плоскостью грани ADD1A1 и точку F пересечения секущей плоскости с ребром AA1 . Таким образом, искомое сечение – пятиугольник MNEKF . Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC , MN || AC (рис.2). Поэтому четырёхугольник AMQC – параллелограмм ( MQ || AC , AM || CQ ). Следовательно, QC = AM = AB = CD . Из подобия треугольников QCE и QDK следует, что

= = = .

Тогда
CE = DK = DD1 = CC1.

Следовательно, = . Пусть H – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD , L – точка пересечения отрезков MN и BD . Тогда L – середина BH ,
DL = DH + HL = BD + BD = BD.

Секущая плоскость пересекает плоскость параллелограмма BDD1B1 по прямой LK , поэтому точка O пересечения диагонали DB1 параллелепипеда с отрезком LK является точкой пересечения диагонали DB1 с секущей плоскостью. Пусть R – точка пересечения прямых LK и B1D1 , лежащих в плоскости параллелограмма BDD1B1 (рис.3). Из равенства треугольников D1KR и DKL следует, что
D1R = DL = BD = B1D1.

Поэтому
B1R = B1D1 + D1R = B1D1.

Из подобия треугольников LOD и ROB1 находим, что
= = = .

Ответ

1:5 ; 3:7 .
Прислать комментарий


Задача 86940

Темы:   [ Свойства сечений ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Пусть M – точка пересечения медиан основания ABC треугольной призмы ABCA1B1C1 ; N и K – точки пересечения диагоналей граней AA1C1C и BB1C1C соответственно. Плоскость MNK пересекает прямые B1C1 и CC1 в точках P и Q соответственно. Постройте сечение призмы плоскостью MNK и найдите отношения B1P:B1C1 и C1Q:CC1 .

Решение

Прямая NK параллельна плоскости ABC , т.к. отрезок NK – средняя линия треугольника AC1B . Поэтому секущая плоскость пересекает плоскость ABC по прямой, параллельной NK и проходящей через точку M . Пусть E и F – точки пересечения этой прямой с AC и BC соответственно, а прямые EN и FK пересекают рёбра A1C1 и B1C1 в точках G и P . Тогда трапеция EFPG – искомое сечение. Пусть H – середина AB . Поскольку EF || AB

= = 2.

Обозначим FB = a . Тогда CF = 2a , а т.к. K – точка пересечения диагоналей параллелограмма BCC1B1 , B1P = CF = 2a и C1P = FB = a . Следовательно,
= = .

Поскольку PC1|| FC и FC = 2PC1 , PC1 – средняя линия треугольника FQC , следовательно, C1Q = CC1 .

Ответ

2:3 ; 1:1 .
Прислать комментарий


Задача 86943

Темы:   [ Свойства сечений ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В тетраэдре ABCD через середину M ребра AD , вершину C и точку N ребра BD такую, что BN:ND = 2:1 , проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит отрезок KP , где K и P – середины рёбер AB и CD соответственно?

Решение

Проведём плоскость через ребро AB и точку P (рис.1). Плоскости ABP и CMN пересекаются по прямой QL , где Q – точка пересечения прямых CM и AP , а L – прямых BP и CN . Рассмотрим плоскость треугольника BCD (рис.2). Через точку B проведём прямую, параллельную CD , и продолжим отрезки CN до пересечения с этой прямой в точке T . Обозначим CP = DP = a . Из подобия треугольников BNT и DNC находим, что

BT = CD· = 22 = 4a,

а из подобия треугольников CLP и TLB
= = = .

Поскольку Q – точка пересечения медиан треугольника ACD ,
= .

Осталось найти, в каком отношении отрезок QL делит медиану PK треугольника APB . Пусть O – точка пересечения этих отрезков (рис.3). Через точку Q проведём прямую, параллельную AB , до пересечения со стороной BP в точке H . Тогда
= = ,

поэтому
= = , = .

Пусть G – точка пересечения PK и QH . Тогда G – середина QH . Рассмотрим треугольник PQH . Через вершину P проведём прямую, параллельную QH . Продолжим QL до пересечения с этой прямой в точке S . Обозначим QG = GH = b . Из подобия треугольников PLS и HLQ находим, что
PS = QH· = 2 = 3b,

а из подобия треугольников POS и GOQ
= = = 3.

Обозначим OG = c . Тогда
PO = 3c, PG = 4c, KG = 2PG = 8c, OK = KG + OG = 9c.

Следовательно,
= = .

Ответ

1:3 .
Прислать комментарий


Задача 86945

Темы:   [ Свойства сечений ]
[ Параллелепипеды (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Постройте сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки A1 и C параллельно прямой BC1 . В каком отношении эта плоскость делит ребро AB ?

Решение

Плоскость BB1C1 проходит через прямую BC1 и пересекает секущую плоскость по прямой a , проходящей через точку C , а т.к. прямая BC1 параллельна секущей плоскости, то a || BC1 . Отсюда вытекает следующее построение. Через точку C проведём прямую a , параллельную BC1 . Пусть P и Q – точки пересечения этой прямой с продолжениями ребер B1C1 и B1B соответственно, а M – точка пересечения A1Q и AB . Тогда искомое сечение – треугольник A1MC . Поскольку BC – средняя линия треугольника QB1P , отрезок BM – средняя линия треугольника A1QB1 , поэтому

BM = A1B1 = AB.

Следовательно, AM:MB = 1:1 .

Ответ

1:1 .
Прислать комментарий


Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 103]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .