ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



Задача 64637

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM),  ∠(LMB, LMN),  ∠(MNC, MNK)  и  ∠(NKD, NKL)  равны. (Через  ∠(PQR, PQS)  обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 87077

Темы:   [ Сферы (прочее) ]
[ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольной пирамиде SABC известны плоские углы при вершине S : BSC = 90o , ASC = ASB = 60o . Вершины A , S и середины рёбер SB , SC , AB , AC лежат на поверхности шара радиуса 3. Докажите, что ребро SA является диаметром этого шара, и найдите объём пирамиды.
Прислать комментарий     Решение


Задача 79264

Темы:   [ Векторы помогают решить задачу ]
[ Скалярное произведение ]
[ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Доказать, что попарные углы между биссектрисами либо одновременно тупые, либо одновременно прямые, либо одновременно острые.
Прислать комментарий     Решение


Задача 65931

Темы:   [ Метод ГМТ в пространстве ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC, все углы которого меньше φ, где  φ < /3.
Докажите, что в пространстве существует точка, из которой все стороны треугольника ABC видны под углом φ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79298

Темы:   [ Сфера, касающаяся ребер угла ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Можно ли разместить в пространстве четыре свинцовых шара и точечный источник света так, чтобы каждый исходящий из источника света луч пересекал хотя бы один из шаров?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .