ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      



Задача 64748

Темы:   [ Правильные многогранники (прочее) ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Каждый из двух правильных многогранников P и Q разрезали плоскостью на две части. Одну из частей P и одну из частей Q приложили друг к другу по плоскости разреза. Может ли получиться правильный многогранник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть граней?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98053

Темы:   [ Правильные многогранники (прочее) ]
[ Остовы многогранных фигур ]
[ Связность и разложение на связные компоненты ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Какое минимальное количество точек на поверхности
   а) додекаэдра,
   б) икосаэдра
надо отметить, чтобы на каждой грани была хотя бы одна отмеченная точка?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65858

Темы:   [ Правильные многогранники (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Инварианты ]
[ Четность перестановки ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Муравей ползает по замкнутому маршруту по рёбрам додекаэдра, нигде не разворачиваясь назад. Маршрут проходит ровно два раза по каждому ребру.
Докажите, что некоторое ребро муравей оба раза проходит в одном и том же направлении.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66541

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Правильные многогранники (прочее) ]
[ Раскраски ]
[ Перебор (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 6

а) Мальвина разбила каждую грань куба 2×2×2 на единичные квадраты и велела Буратино в некоторых квадратах написать крестики, а в остальных нолики так, чтобы каждый квадрат граничил по сторонам с двумя крестиками и двумя ноликами. На рисунке показано, как Буратино выполнил задание (видно только три грани). Докажите, что Буратино ошибся.

б) Помогите Буратино выполнить задание правильно. Достаточно описать хотя бы одну верную расстановку.
Прислать комментарий     Решение


Задача 65738

Темы:   [ Окружности на сфере ]
[ Правильные многогранники (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить N кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов? Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки. Решите задачу в случаях:  а)  N = 3;  б)  N = 4.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .