ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



Задача 64518

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Центр масс ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку X. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему X с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 67105

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Проекция на прямую (прочее) ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Пусть $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$; $R$, $r$ – их радиусы; $D$ – точка касания вписанной окружности со стороной $BC$; $N$ – произвольная точка на отрезке $ID$. Перпендикуляр к $ID$ в точке $N$ пересекает описанную окружность $ABC$ в точках $X$ и $Y$. Пусть $O_1$ – центр описанной окружности $XIY$. Найдите произведение $OO_1\cdot IN$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 116284

Темы:   [ Трапеции (прочее) ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD являются соответственно хордами окружностей ω1 и ω2, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг AB и CD равны α и β. Окружности ω3 и ω4 также имеют хорды AB и CD соответственно. Их дуги AB и CD, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω3 и ω4 тоже касаются.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66894

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Пятиугольники ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Невыпуклые многоугольники ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

а) Выпуклый пятиугольник разбили непересекающимися диагоналями на три треугольника. Могут ли точки пересечения медиан этих треугольников лежать на одной прямой?

б) Тот же вопрос для невыпуклого пятиугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98307

Темы:   [ Параллельность прямых и плоскостей ]
[ Уравнение плоскости ]
[ Куб ]
[ Скалярное произведение ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .