ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 111768

Темы:   [ Неравенства с объемами ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Объем тетраэдра и пирамиды ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Объем параллелепипеда ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Назовем многогранник хорошим, если его объем (измеренный в м3 ) численно равен площади его поверхности (измеренной в м2 ). Можно ли какой-нибудь хороший тетраэдр разместить внутри какого-нибудь хорошего параллелепипеда?

Решение

Нельзя. Предположим, что хороший тетраэдр объема V с площадью поверхности S помещен внутри хорошего параллелепипеда объема V' , площади граней которого равны S1 , S2 , S3 ( S1 S2 S3 ), На соответствующие высоты равны h1 , h2 , h3 . По условию V=S и V'=2(S1+S2+S3) . Впишем в тетраэдр сферу σ радиуса r . Так как V=Sr , то r=3 . Сфера σ лежит между парой параллельных плоскостей, содержащих грани параллелепипеда, поэтому h1> 2r=6 . Отсюда

V'=S1h1> 6S1 2(S1+S2+S3) = V'.

Противоречие.
Прислать комментарий

Задача 79484

Темы:   [ Объем тетраэдра и пирамиды ]
[ Неравенства с объемами ]
Сложность: 4
Классы: 11

Доказать, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны h1, h2, h3, то объём тетраэдра не меньше, чем h1h2h3/3.

Решение

Рассмотрим параллелепипед, образованный плоскостями, проходящими через рёбра тетраэдра параллельно противоположным рёбрам. Объём тетраэдра составляет 1/3 объёма этого параллелепипеда (см. решение задачи 76442), а расстояния между параллельными гранями параллелепипеда равны h1, h2 и h3. Поэтому остаётся проверить, что объём такого параллелепипеда не меньше h1h2h3. Рассмотрим грань параллелепипеда, на которую опущена высота h3. Эта грань является параллелограммом. Одна из сторон этого параллелограмма не меньше h2, а высота, опущенная на эту сторону, не меньше h1. Поэтому площадь этой грани не меньше h1h2, а объём параллелепипеда не меньше h1h2h3.
Прислать комментарий


Задача 87369

Темы:   [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ]
[ Неравенства с объемами ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Найдите наибольшее значение объёма пирамиды SABC при следующих ограничениях

SA 4, SB 7, SC 9, AB = 5, BC 6, AC 8.

Решение

Пусть CK – высота треугольной пирамиды SABC . Тогда CK BC 6 . По теореме косинусов из треугольника SAB находим, что

cos SAB = =


- = - = -.

Поэтому SAB > 90o . Если V – объём пирамиды SABC , то
V = · AS· AB sin SAB· CK · 4· 5· 6· sin SAB =


= 20 sin SAB = 20 20 = 8.

Пирамида SABC , в которой AS = 4 , AB = 5 , SAB = arccos (-) , BC = 6 и BC – перпендикуляр к плоскости основания SAB , удовлетворяет условию задачи, т.к. в этом случае
SB = 7, AC = = < = 8,


SC = = > = 9,

а объём такой пирамиды равен 8 .

Ответ

8 .
Прислать комментарий


Задача 115390

Темы:   [ Свойства гомотетии и центра гомотетии ]
[ Неравенства с объемами ]
[ Площадь сферы и ее частей ]
[ Объем шара, сегмента и проч. ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

На левую чашу весов положили две круглых монеты, а на правую — ещё одну, так что весы оказались в равновесии. А какая из чаш перевесит, если каждую из монет заменить шаром того же радиуса? (Все шары и монеты изготовлены целиком из одного и того же материала, все монеты имеют одинаковую толщину.)

Решение

Так как при растяжении в  R раз площади меняются в  R2 , а объёмы в  R3 раз, площадь круга радиуса R равна V2R2 , а площадь шара V3R3 , где V2 и  V3  — некоторые константы (площадь единичного круга и объём единичного шара, соответственно; на самом деле V2, а  V3=π , но для решения задачи это не важно).
Обозначим радиусы монет через R1 , R2 и  R3 . Вначале весы были в равновесии, поэтому V2R12+V2R22=V2R32 , т. е.

R12+R22=R32.

Аналогично, чтобы определить, что произошло с весами, после того как монеты заменили шарами, нужно сравнить R13+R23 с  R33 . Но по сравнению с равенством выше правая часть умножилась на больший радиус R3 , а два слагаемых в левой части — на меньшие радиусы R1 и  R2 :
R13+R23= R12· R1+R22· R2< R12· R3+R22· R3= (R12+R22)· R3= R33.

Значит, правая чаша перевесит.

Ответ

Перевесит правая чаша весов.
Прислать комментарий


Задача 111864

Темы:   [ Шар и его части ]
[ Тетраэдр (прочее) ]
[ Объем помогает решить задачу ]
[ Неравенства с объемами ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Карасев Р.

Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса 1 . Докажите, что весь тетраэдр можно поместить в шар радиуса .

Решение

Заметим, что наименьший круг, содержащий нетупоугольный треугольник– это его описанный круг; для тупоугольного же треугольника это круг, построенный на его наибольшей стороне как на диаметре. Пусть описанная сфера Ω нашего тетраэдра ABCD имеет центр O и радиус R . Предположим, что O лежит вне тетраэдра или на его границе. Рассмотрим ближайшую к O точку X тетраэдра. Возможны два случая:

1. X лежит внутри некоторой грани (скажем, ABC ). Тогда X является центром описанной окружности ω треугольника ABC , этот треугольник– остроугольный, поэтому радиус ω есть r 1 . При этом точки D и O лежат в разных полупространствах относительно ABC , и сфера c центром в X и радиусом r содержит сферическую шапочку сферы Ω , содержащую ABCD . Значит, эта сфера содержит и ABCD .

2. X лежит на ребре AB . Тогда проекция O1 точки O на плоскость ABC лежит вне граней; более того, X является ближайшей к O1 точкой треугольника ABC . Поэтому O1 и C лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AB , угол ACB тупой, и точка C лежит в шаре, построенном на AB как на диаметре (радиус этого шара по условию не превосходит 1). Аналогично, D лежит в этом шаре, поэтому шар содержит весь тетраэдр.

В обоих случаях тетраэдр поместился в шар радиуса 1.

Нам осталось разобрать только случай, когда O лежит внутри тетраэдра. В этом случае сумма объемов пирамид ABCO , ABDO , ACDO и BCDO равна VABCD , поэтому один из них не превосходит VABCD/4 ; пусть это объем пирамиды ABCO . Пусть луч DO пересекает плоскость ABC в точке D1 ; тогда = , поэтому OD1 OD= .

Рассмотрим ближайшую к O точку X на границе тетраэдра. Она не может лежать на ребре тетраэдра, потому что угол между одной из граней и отрезком OX будет острым. Значит, она лежит внутри одной из граней (скажем, ABC ), является центром ее описанной окружности, и по доказанному выше XO . Тогда радиус описанной окружности этой грани не менее = R . Так как по условию он не больше 1 , то R , и мы нашли шар требуемого радиуса, содержащий тетраэдр.
Прислать комментарий


Страница: << 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .