ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 41]      



Задача 78544

Темы:   [ Формула включения-исключения ]
[ Функция Эйлера ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 58106

Темы:   [ Формула включения-исключения ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Перегруппировка площадей ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На плоскости дано n фигур. Пусть Si1...ik – площадь пересечения фигур с номерами i1, ..., ik, a S – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; Mk – сумма всех чисел Si1...ik. Докажите, что:
  а)  S = M1M2 + M3 – ... + (–1)n + 1Mn;
  б)  SM1 - M2 + M3 – ... + (–1)m + 1Mm   при m чётном и
       SM1M2 + M3 – ... + (–1)m + 1Mm   при m нечётном.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60445

Темы:   [ Формула включения-исключения ]
[ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Сочетания и размещения ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади 1/2 каждая. Докажите, что найдутся
  а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше 3/20;
  б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше 1/5;
  в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше 1/20.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109702

Темы:   [ Формула включения-исключения ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Процессы и операции ]
[ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ]
[ Отношение порядка ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?

Прислать комментарий     Решение

Задача 103971

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Формула включения-исключения ]
Сложность: 2-
Классы: 5,6,7

В киоске около школы продается мороженое двух видов: «Спортивное» и «Мальвина». На перемене 24 ученика успели купить мороженое. При этом 15 из них купили «Спортивное», а 17 – мороженое «Мальвина». Сколько человек купили мороженое обоих сортов?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 41]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .