ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
Некто расставил в произвольном порядке 10-томное собрание сочинений. Назовём беспорядком пару томов, для которых том с большим номером стоит левее. Для данной расстановки томов посчитано число S всех беспорядков. Какие значения может принимать S? ПодсказкаЕсли поменять местами два соседних тома, то число беспорядков изменится (уменьшится или увеличится) на 1. РешениеЯсно, что число S беспорядков не меньше 0 и не больше числа всевозможных пар из 10 томов (число таких пар равно 10·9 : 2 = 45). Покажем, что любое из значений от 0 до 45 может достигаться при некоторой расстановке томов. Расставим вначале тома в обратном порядке. При этом каждая пара томов будет являться беспорядком, и общее число беспорядков S = 45. Пусть у нас уже есть расстановка, для которой S = i > 0; тогда найдём в ней два соседних тома, образующие беспорядок (такие два тома найдутся, иначе расстановка томов будет правильной и S будет равно 0). Поменяв эти два тома местами, получим расстановку, в которой ровно на один беспорядок меньше, то есть S стало равно i – 1. Таким образом, начиная с расстановки томов, для которой S = 45, можно последовательно получать расстановки, для которых S = 44, 43, ..., 1, 0. ОтветЛюбое целое значение от 0 до 45.
Дана прямоугольная таблица, в каждой клетке которой написано вещественное число, причем в каждой строке таблицы числа расположены в порядке возрастания. Докажите, что если расположить числа в каждом столбце таблицы в порядке возрастания, то в строках полученной таблицы числа по-прежнему будут располагаться в порядке возрастания. РешениеСм. задачу 73606 а).
С начала учебного года Андрей записывал свои оценки по математике. Получая очередную оценку (2, 3, 4 или 5), он называл её неожиданной, если до этого момента она встречалась реже каждой из всех остальных возможных оценок. (Например, если бы он получил с начала года подряд оценки 3, 4, 2, 5, 5, 5, 2, 3, 4, 3, то неожиданными были бы первая пятерка и вторая четвёрка.) За весь учебный год Андрей получил 40 оценок – по 10 пятерок, четвёрок, троек и двоек (неизвестно, в каком порядке). Можно ли точно сказать, сколько оценок были для него неожиданными? РешениеПервой неожиданной оценкой будет последняя, полученная в первый раз. Второй неожиданной оценкой будет последняя, полученная во второй раз, и т.д. Значит, всего будет 10 неожиданных оценок. ОтветМожно.
Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, но большинство (не меньше 80%) – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.) Решение Вот один из возможных примеров. На балу было 10 девушек и 10 юношей (дадим им номера 1, 2, ..., 10). Красота девушек росла с ростом номера. Девушка №10 была глупее всех, а ум остальных возрастал от первой девушки до девятой. В первом танце пары были составлены из девушек и юношей с одинаковыми номерами. Во втором танце юноша №1 танцевал с девушкой №2, юноша №2 – с девушкой №3, ..., юноша №9 – с девушкой №10, юноша №10 – с девушкой №1. ОтветМогло.
РешениеПредположим, что среди чисел a1, a2, ..., a100 содержится k синих и, соответственно, 100 - k красных. Так как синие числа записаны в порядке возрастания, эти k синих чисел суть числа от 1 до k включительно. Аналогично, 100 - k красных чисел — числа 100, 99, ..., k + 1. Значит, все числа от 1 до 100 встречаются среди a1, a2, ..., a100.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|