ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



Задача 35561

Темы:   [ Отношение порядка ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Некто расставил в произвольном порядке 10-томное собрание сочинений. Назовём беспорядком пару томов, для которых том с большим номером стоит левее. Для данной расстановки томов посчитано число S всех беспорядков. Какие значения может принимать S?

Подсказка

Если поменять местами два соседних тома, то число беспорядков изменится (уменьшится или увеличится) на 1.

Решение

Ясно, что число S беспорядков не меньше 0 и не больше числа всевозможных пар из 10 томов (число таких пар равно  10·9 : 2 = 45).  Покажем, что любое из значений от 0 до 45 может достигаться при некоторой расстановке томов. Расставим вначале тома в обратном порядке. При этом каждая пара томов будет являться беспорядком, и общее число беспорядков  S = 45.  Пусть у нас уже есть расстановка, для которой  S = i > 0;  тогда найдём в ней два соседних тома, образующие беспорядок (такие два тома найдутся, иначе расстановка томов будет правильной и S будет равно 0). Поменяв эти два тома местами, получим расстановку, в которой ровно на один беспорядок меньше, то есть S стало равно  i – 1.  Таким образом, начиная с расстановки томов, для которой  S = 45,  можно последовательно получать расстановки, для которых  S = 44, 43, ..., 1, 0.

Ответ

Любое целое значение от 0 до 45.

Прислать комментарий

Задача 60363

Темы:   [ Отношение порядка ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Дана прямоугольная таблица, в каждой клетке которой написано вещественное число, причем в каждой строке таблицы числа расположены в порядке возрастания. Докажите, что если расположить числа в каждом столбце таблицы в порядке возрастания, то в строках полученной таблицы числа по-прежнему будут располагаться в порядке возрастания.

Решение

См. задачу 73606 а).

Прислать комментарий

Задача 64840

Темы:   [ Отношение порядка ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

С начала учебного года Андрей записывал свои оценки по математике. Получая очередную оценку (2, 3, 4 или 5), он называл её неожиданной, если до этого момента она встречалась реже каждой из всех остальных возможных оценок. (Например, если бы он получил с начала года подряд оценки 3, 4, 2, 5, 5, 5, 2, 3, 4, 3, то неожиданными были бы первая пятерка и вторая четвёрка.) За весь учебный год Андрей получил 40 оценок – по 10 пятерок, четвёрок, троек и двоек (неизвестно, в каком порядке). Можно ли точно сказать, сколько оценок были для него неожиданными?

Решение

Первой неожиданной оценкой будет последняя, полученная в первый раз. Второй неожиданной оценкой будет последняя, полученная во второй раз, и т.д. Значит, всего будет 10 неожиданных оценок.

Ответ

Можно.

Прислать комментарий

Задача 98238

Темы:   [ Отношение порядка ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Задачи на проценты и отношения ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, но большинство (не меньше 80%) – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)

Решение

  Вот один из возможных примеров. На балу было 10 девушек и 10 юношей (дадим им номера 1, 2, ..., 10). Красота девушек росла с ростом номера. Девушка №10 была глупее всех, а ум остальных возрастал от первой девушки до девятой. В первом танце пары были составлены из девушек и юношей с одинаковыми номерами. Во втором танце юноша №1 танцевал с девушкой №2, юноша №2 – с девушкой №3, ..., юноша №9 – с девушкой №10, юноша №10 – с девушкой №1.
  Таким образом, каждый юноша с первого по восьмого танцевал во втором танце с девушкой одновременно более умной и более красивой, чем в первом танце, девятый юноша получил девушку более красивую, а десятый – более умную, чем в первом танце.

Ответ

Могло.

Прислать комментарий

Задача 107848

Темы:   [ Отношение порядка ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Некоторые из чисел a1, a2, ..., a200 написаны синим карандашом, а остальные — красным. Если стереть все красные числа, то останутся все натуральные числа от 1 до 100, записанные в порядке возрастания. Если же стереть все синие числа, то останутся все натуральные числа от 100 до 1, записанные в порядке убывания. Докажите, что среди чисел a1, a2, ..., a100 содержатся все натуральные числа от 1 до 100 включительно.

Решение

  Предположим, что среди чисел a1, a2, ..., a100 содержится k синих и, соответственно, 100 - k красных. Так как синие числа записаны в порядке возрастания, эти k синих чисел суть числа от 1 до k включительно. Аналогично, 100 - k красных чисел — числа 100, 99, ..., k + 1. Значит, все числа от 1 до 100 встречаются среди a1, a2, ..., a100.

Прислать комментарий


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .