ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 111]      



Задача 61300

Тема:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последовательность {an} равенствами

a0 = a,        an + 1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$an + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$    (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что при любом неотрицательном n выполняется равенство

$\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt
k}}\right.$$\displaystyle {\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt
k}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt
k}}\right)^{2^n}_{}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61301

Тема:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Зафиксируем числа a0 и a1. Построим последовательность {an} в которой

an + 1 = $\displaystyle {\frac{a_n+a_{n-1}}{2}}$        (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Выразите an через a0, a1 и n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61330

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть p и q — отличные от нуля действительные числа и p2 - 4q > 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся:
а) y0 = 0,        yn + 1 = $ {\dfrac{q}{p-y_n}}$    (n $ \geqslant$ 0);
б) z0 = 0,        zn + 1 = p - $ {\dfrac{q}{z_n}}$    (n $ \geqslant$ 0).
Установите связь между предельными значениями этих последовательностей y*, z* и корнями уравнения x2 - px + q = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61468

 [Многочлены Фибоначчи и Люка]
Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка (определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь). Какие значения эти многочлены принимают при x = 1? Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями:
  а)  Ln(x) = Fn–1(x) + Fn+1(x)  (n ≥ 1);
  б)  Fn(x)(x² + 4) = Ln–1(x) + Ln+1(x)  (n ≥ 1);
  в)  F2n(x) = Ln(x)Fn(x)  (n ≥ 0);
  г)  (Ln(x))² + (Ln+1(x))² = (x² + 4)F2n+1(x)  (n ≥ 0);
  д)  Fn+2(x) + Fn–2(x) = (x² + 2)Fn(x).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61472

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Укажите явный вид коэффициентов в многочленах Fn(x) и Ln(x). Решите задачи 60581 и 60582, используя многочлены Фибоначчи.
Про многочлены Фибоначчи и Люка смотри статьи в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 111]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .