Страница:
<< 1 2 [Всего задач: 8]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь n-го прямоугольника равна n². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.
б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа N найдутся квадраты суммарной площади больше N?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с
положительными разностями d1, d2, d3, ... . Может ли случиться, что при этом сумма
1/d1 + 1/d2 + ... + 1/dk не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
а) общее число прогрессий конечно;
б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).
|
|
|
Сложность: 9
Классы: 9,10,11
|
а) На плоскости даны
n векторов, длина каждого из которых
равна 1. Сумма всех
n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех
k = 1, 2, ...,
n выполнялось следующее условие: длина суммы первых
k векторов не
превышает 3.
б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.
в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).
Страница:
<< 1 2 [Всего задач: 8]
Фильтр
