ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 61455

Тема:   [ Функции нескольких переменных ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10,11

Определение. Пусть функция f (x, y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию f (x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть:
f (x, y)=1/4(f (x+1, y)+ f (x-1, y)+f (x, y+1) + f (x, y-1)).
Пусть f (x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af (x, y) + bg(x, y) также будет гармонической.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61456

Тема:   [ Функции нескольких переменных ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10,11

Пусть f (x, y) — гармоническая функция (определение смотри в задаче 11.28). Докажите, что функции $ \Delta_{x}^{}$f (x, y) = f (x + 1, y) - f (x, y) и $ \Delta_{y}^{}$f (x, y) = f (x, y + 1) - f (x, y) также будут гармоническими.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107987

Темы:   [ Функции нескольких переменных ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Каждой паре чисел x и y поставлено в соответствие некоторое число x*y. Найдите 1993*1935, если известно, что для любых трех чисел x, y, z  выполнены тождества:  x*x = 0  и  x*(y*z) = (x*y) + z.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61457

 [Дискретная теорема Лиувилля]
Тема:   [ Функции нескольких переменных ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Дискретная теорема Лиувилля. Пусть f (x, y) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче 11.28) функция, то есть существует положительная константа M такая, что

$\displaystyle \forall$(x, y) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$2    | f (x, y)| $\displaystyle \leqslant$ M.

Докажите, что функция f (x, y) равна константе.
Прислать комментарий     Решение

Задача 98169

Темы:   [ Арифметические действия. Числовые тождества ]
[ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
[ Функции нескольких переменных ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7,8

Задано правило, которое каждой паре чисел x, y ставит в соответствие некоторое число x*y, причём для любых x, y, z выполняются тождества:
   1)  x*x = 0,
   2)  x*(y*z) = (x*y) + z.
Найдите 1993*1932.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .