ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



Задача 61252

Темы:   [ Кубические многочлены ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Производная и экстремумы ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что
  а) при  p ≥ 0  график многочлена  x³ + px + q  пересекает каждую горизонтальную прямую ровно в одной точке;
  б) при  p < 0  график пересекает некоторые горизонтальные прямые в трёх точках;
  в) при  p < 0  график имеет один минимум и один максимум;
  г) абсциссы точек минимума и максимума противоположны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66091

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть a – положительный корень уравнения  x2017x – 1 = 0,  а b – положительный корень уравнения  y4034y = 3a.
  а) Сравните a и b.
  б) Найдите десятый знак после запятой числа  |a – b|.

Прислать комментарий     Решение

Задача 57533

Темы:   [ Теорема косинусов ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Длины сторон (неравенства) ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём  a ≥ b ≥ cx, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

bc + ca – ab < bc cos x + ca cos y + ab cos z ≤ ½ (a² + b² + c²).

Прислать комментарий     Решение

Задача 111726

Темы:   [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .