Фильтр
Задачи
Задача 64304 |
|
|
Одноклассники Аня, Боря и Вася живут на одной лестничной клетке. В школу они идут с постоянными, но различными скоростями, не оглядываясь и не дожидаясь друг друга. Но если кто-то из них успевает догнать другого, то дальше он замедляется, чтобы идти вместе с тем, кого догнал.
Однажды первой вышла Аня, вторым Боря, третьим Вася, и какие-то двое из них пришли в школу вместе. На следующий день первым вышел Вася, вторым Боря, третьей Аня. Могут ли все трое прийти в школу вместе?
Решение
Пусть Аня ходит медленнее Бори, а Вася намного медленнее их обоих. Тогда в первый день Боря догонит Аню, дальше они пойдут со скоростью Ани, но медленный Вася их все равно не догонит. На следующий день Боря догонит Васю, и дальше они пойдут со скоростью Васи, после чего их сможет догнать Аня.
Ответ
Могут.
|
|
Задача 65134 |
|
|
Кабинки горнолыжного подъёмника занумерованы подряд числами от 1 до 99. Игорь сел в кабинку №42 подъёмника у подножия горы и в какой-то момент заметил, что он поравнялся с движущейся вниз кабинкой №13 (см. рисунок), а через 15 секунд его кабинка поравнялась с кабинкой №12.
Через какое время Игорь прибудет на вершину горы?
Решение
Так как Игорь сначала поравнялся с кабинкой №13, а потом с кабинкой №12, то нумерация идёт по направлению движения подъёмника. Примем расстояние между соседними кабинками за единицу. Тогда расстояние по тросу подъёмника между кабинками №42 и №12 равно 69 единицам: 57 единиц до кабинки №99 и еще 12 единиц до кабинки №12. Значит, расстояние между Игорем и вершиной горы равно половине этого количества, то есть 34,5 единицы.
Поскольку кабинки, с которыми поравнялась кабинка №42, движутся навстречу с той же скоростью, то скорость сближения кабинок в два раза больше скорости подъёмника. Значит, на преодоление одной кабинкой одной единицы расстояния уходит 30 секунд, а Игорь будет на вершине горы через 34,5·30 : 60 = 17,25 (минут).
Ответ
Через 17 минут 15 секунд.
|
|
|
Задача 65451 |
|
|
Пончик закусывал в придорожном кафе, когда мимо него проехал автобус. Через три плюшки после автобуса мимо Пончика проехал мотоцикл, а ещё через три плюшки – автомобиль. Мимо Сиропчика, который закусывал в другом кафе у той же дороги, они проехали в другом порядке: сначала – автобус, через три плюшки – автомобиль, а ещё через три плюшки – мотоцикл. Известно, что Пончик и Сиропчик всегда едят плюшки с одной и той же постоянной скоростью. Найдите скорость автобуса, если скорость автомобиля – 60 км/ч, а скорость мотоцикла – 30 км/ч.
Решение
Пусть в тот момент, когда автобус проезжал мимо Пончика, мотоциклу оставалось x км до первого кафе. Это означает, что за время трёх плюшек автомобиль проезжает x км. Автомобиль движется вдвое быстрее мотоцикла и проехал за это же время 2x км. Столько же он проехал и за следующее время трёх плюшек. Значит, в тот момент, когда мимо Пончика проезжал автобус, автомашина была от него вчетверо дальше, чем мотоцикл.
Когда же автобус проезжал мимо Сиропчика, и автомашина, и мотоцикл были позади него на расстоянии 2x км. Стало быть, пока автобус ехал от Пончика до Сиропчика, автомашина догнала мотоцикл, ликвидировав отставание в 4x – x = 3x км. За это же время автомашина сократила отставание от автобуса на 4x – 2x = 2x км. Это значит, что скорость, с которой машина догоняет мотоцикл (30 км/ч), составляет 3/2 от скорости, с которой она догоняет автобус. То есть машина догоняет автобус со скоростью 20 км/ч, значит, скорость автобуса 60 – 20 = 40 км/ч.
Ответ
40 км/ч.
|
|
|
Задача 65513 |
|
|
Из Златоуста в Миасс выехали одновременно "ГАЗ", "МАЗ" и "КамАЗ". "КамАЗ", доехав до Миасса, сразу повернул назад и встретил "МАЗ" в 18 км, а "ГАЗ" – в 25 км от Миасса. "МАЗ", доехав до Миасса, также сразу повернул назад и встретил "ГАЗ" в 8 км от Миасса. Каково расстояние от Златоуста до Миасса?
Решение
Пусть расстояние между городами равно x км, а скорости грузовиков: "ГАЗа" – g км/ч, "МАЗа" – m км/ч, "КамАЗа" – k км/ч. Для каждой пары машин приравняем их время движения до встречи. Получим ,
и
. Отсюда
Преобразуем полученное уравнение x³ + x² + (18·8 – 18·25 – 8·25)x – 18·8·25 = x³ – x² + (18·8 – 18·25 – 8·25)x + 18·8·25 ⇔ 2x² = 2·18·8·25. Так как
x > 0, то x = 60.
Ответ
60 км.
|
|
|
Задача 77943 |
|
|
Два человека A и B должны попасть как можно скорее из пункта M в пункт N, расположенный в 15 км от M. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. A отправляется в путь пешком, а B едет на велосипеде до встречи с пешеходом C, идущим из N и M. Дальше B идёт пешком, а C едет на велосипеде до встречи с A и передаёт ему велосипед, на котором тот и приезжает в N. Когда должен выйти из N пешеход C, чтобы время, затраченное A и B на дорогу в N, было наименьшим? (C идёт пешком с той же скоростью, что A и B; время, затраченное на дорогу, считается от момента выхода A и B из M до момента прибытия последнего из них в N.)
Решение
Чтобы A и B затратили на дорогу наименьшее время, они должны прибыть в N одновременно, то есть должны пройти пешком одинаковые расстояния. Действительно, если A приезжает в N раньше B, то он может отдать B часть своего времени: сесть на велосипед чуть позже, дав B возможность проехать на велосипеде чуть дольше. В результате "общее" время прибытия уменьшится. Аналогично показывается, что и B невыгодно приходить в N раньше A. Далее см. задачу 77940.
Ответ
За 3/11 часа до того, как A и B выйдут из M.
|
|
|
Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 153]
