ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 153]      



Задача 65451

Тема:   [ Задачи на движение ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7,8

Пончик закусывал в придорожном кафе, когда мимо него проехал автобус. Через три плюшки после автобуса мимо Пончика проехал мотоцикл, а ещё через три плюшки – автомобиль. Мимо Сиропчика, который закусывал в другом кафе у той же дороги, они проехали в другом порядке: сначала – автобус, через три плюшки – автомобиль, а ещё через три плюшки – мотоцикл. Известно, что Пончик и Сиропчик всегда едят плюшки с одной и той же постоянной скоростью. Найдите скорость автобуса, если скорость автомобиля – 60 км/ч, а скорость мотоцикла – 30 км/ч.

Решение

  Пусть в тот момент, когда автобус проезжал мимо Пончика, мотоциклу оставалось x км до первого кафе. Это означает, что за время трёх плюшек автомобиль проезжает x км. Автомобиль движется вдвое быстрее мотоцикла и проехал за это же время 2x км. Столько же он проехал и за следующее время трёх плюшек. Значит, в тот момент, когда мимо Пончика проезжал автобус, автомашина была от него вчетверо дальше, чем мотоцикл.
  Когда же автобус проезжал мимо Сиропчика, и автомашина, и мотоцикл были позади него на расстоянии 2x км. Стало быть, пока автобус ехал от Пончика до Сиропчика, автомашина догнала мотоцикл, ликвидировав отставание в  4xx = 3x км.  За это же время автомашина сократила отставание от автобуса на  4x – 2x = 2x км.  Это значит, что скорость, с которой машина догоняет мотоцикл (30 км/ч), составляет 3/2 от скорости, с которой она догоняет автобус. То есть машина догоняет автобус со скоростью 20 км/ч, значит, скорость автобуса  60 – 20 = 40 км/ч.

Ответ

40 км/ч.

Прислать комментарий

Задача 65513

Тема:   [ Задачи на движение ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Из Златоуста в Миасс выехали одновременно "ГАЗ", "МАЗ" и "КамАЗ". "КамАЗ", доехав до Миасса, сразу повернул назад и встретил "МАЗ" в 18 км, а "ГАЗ" – в 25 км от Миасса. "МАЗ", доехав до Миасса, также сразу повернул назад и встретил "ГАЗ" в 8 км от Миасса. Каково расстояние от Златоуста до Миасса?

Решение

  Пусть расстояние между городами равно x км, а скорости грузовиков: "ГАЗа" – g км/ч, "МАЗа" – m км/ч, "КамАЗа" – k км/ч. Для каждой пары машин приравняем их время движения до встречи. Получим    и  .  Отсюда  
  Преобразуем полученное уравнение  x³ + x² + (18·8 – 18·25 – 8·25)x – 18·8·25 = x³ – x² + (18·8 – 18·25 – 8·25)x + 18·8·25  ⇔  2x² = 2·18·8·25.  Так как
x > 0,  то  x = 60.

Ответ

60 км.

Прислать комментарий

Задача 77943

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Малые шевеления ]
Сложность: 4-
Классы: 9

Два человека A и B должны попасть как можно скорее из пункта M в пункт N, расположенный в 15 км от M. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. A отправляется в путь пешком, а B едет на велосипеде до встречи с пешеходом C, идущим из N и M. Дальше B идёт пешком, а C едет на велосипеде до встречи с A и передаёт ему велосипед, на котором тот и приезжает в N. Когда должен выйти из N пешеход C, чтобы время, затраченное A и B на дорогу в N, было наименьшим? (C идёт пешком с той же скоростью, что A и B; время, затраченное на дорогу, считается от момента выхода A и B из M до момента прибытия последнего из них в N.)

Решение

Чтобы A и B затратили на дорогу наименьшее время, они должны прибыть в N одновременно, то есть должны пройти пешком одинаковые расстояния. Действительно, если A приезжает в N раньше B, то он может отдать B часть своего времени: сесть на велосипед чуть позже, дав B возможность проехать на велосипеде чуть дольше. В результате "общее" время прибытия уменьшится. Аналогично показывается, что и B невыгодно приходить в N раньше A. Далее см. задачу 77940.

Ответ

За 3/11 часа до того, как A и B выйдут из M.

Прислать комментарий

Задача 98073

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Фомин С.В.

На стене висят двое правильно идущих совершенно одинаковых часов. Одни показывают московское время, другие – местное. Минимальное расстояние между концами их часовых стрелок равно m, а максимальное – M. Найдите расстояние между центрами этих часов.

Решение

  В обозначениях риcунка  

  Вектор     постоянен, вектор     имеет постоянную длину и равномерно вращается по окружности. Длина вектора  c + a  достигает максимума и минимума, когда векторы c и a коллинеарны. Поэтому длина вектора c равна полусумме минимального и максимального значений длины вектора  c + a.

Ответ

½ (M + m).

Прислать комментарий

Задача 98535

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фольклор

По прямой в одном направлении на некотором расстоянии друг от друга движутся пять одинаковых шариков, а навстречу им движутся пять других таких же шариков. Скорости всех шариков одинаковы. При столкновении любых двух шариков они разлетаются в противоположные стороны с той же скоростью, с какой двигались до столкновения. Сколько всего столкновений произойдёт между шариками?

Решение

После столкновения шарики разлетаются с той же скоростью, Поэтому ситуация не изменится, если мы разрешим шарикам при столкновении проскакивать друг сквозь друга, сохраняя скорость. Тогда каждый шарик, катящийся "справа", встретит по одному разу каждый из шариков, катящихся "слева", то есть встреч будет 25.

Ответ

25 столкновений.

Прислать комментарий

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 153]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .