Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Доказать, что выражение
+
равно 2, если
1<= a <= 2 , и равно
2
, если
a>2 .
Решение
+=
+
=
=|+1|+|-1|=
=
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Петя записал несколько алгебраических выражений, возвёл каждое из них в квадрат и сложил результаты.
Могло ли у него в итоге получиться выражение x² + y² + z² + 3y + 4x + xz + 1?
Решение
Если выражение x² + y² + z² + 3y + 4x + xz + 1 равно сумме квадратов нескольких алгебраических выражений, то при любых x, y и z его значение неотрицательно. Но, например, при x = z = 0, y = –1, x² + y² + z² + 3y + 4x + xz + 1 = 1 – 3 + 1 < 0.
Ответ
Не могло.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде
суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами.
Решение
Достаточно доказать утверждение для трёхчленов вида ax² + c: остальные можно получить из них сдвигом вдоль оси абсцисс. Более того, можно считать a = 2: остальные трёхчлены указанного вида можно получить из таких умножением на число. Рассмотрим два случая.
1) c ≥ 0. Запишем c в виде 2d². Имеем: 2x² + 2d² = (x – d)² + (x + d)².
2) c < 0. Запишем c в виде – 4d². Имеем: 2x² – 4d² = 2(2(x – d)² – (x – 2d)²).
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Положительные числа x, y, z таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.
Докажите, что 
+ 
+ 
> x + y + z.
Решение
По условию |x – y| < 2 ⇒ x² – 2xy + y² < 4 ⇒ x² + 2xy + y² < 4(1 + xy) ⇒ x + y < 2 . Аналогично
y + z < 2 , z + x < 2 ⇒ 2x + 2y + 2z < 2 + 2 + 2 .
|
[Тождество Диофанта]
|
|
Сложность: 2
Классы: 7,8,9,10,11
|
Докажите равенство (a2 + b2)(u2 + v2) = (au + bv)2 + (av – bu)2.
Решение
(a2 + b2)(u2 + v2) = a2u2 + b2u2 + a2v2 + b2v2 = (a2u2 + 2abuv + b2v2) + (b2u2 – 2abuv + a2v2) = (au + bv)2 + (bu – av)2.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]
Фильтр
