ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 51]      



Задача 73758

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Натуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 – совершенное:  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.)  Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78619

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Обозначим через d(N) число делителей N (числа 1 и N также считаются делителями). Найти все такие N, что число  P =   – простое.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60549

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Ряды (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 11

Может ли быть так, что   а)  σ(n) > 3n;   б)  σ(n) > 100n?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60802

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Рациональные функции (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Докажите, что если n > 6 — четное совершенное число, то его цифровой корень равен 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60551

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Количество и сумма делителей числа ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8,9

Пусть α – действительное положительное число, d – натуральное.
Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на d, равно  [α/d].

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 51]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .