ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 135]      



Задача 115609

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Перегруппировка площадей ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Дан выпуклый шестиугольник, каждая диагональ которого, соединяющая противоположные вершины, делит его площадь пополам.
Докажите, что эти диагонали пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116087

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть C1 – более удалённая от вершины C точка пересечения окружностей, построенных на медианах AM1 и BM2. Точки A1 и B1 определяются аналогично. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116162

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Ивлев Ф.

Дана неравнобокая трапеция ABCD  (AB || CD).  Окружность, проходящая через точки A и B, пересекает боковые стороны трапеции в точках P и Q, а диагонали – в точках M и N. Докажите, что прямые PQ, MN и CD пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116904

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Точки A2, B2, C2 симметричны точкам A1, B1, C1 относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64403

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Выход в пространство ]
[ Окружность Аполлония ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4+

Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что  XA·BC = XB·AC = XC·ABI1, I2, I3 – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI1, BI2 и CI3 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 135]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .