ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 63]      



Задача 109051

Тема:   [ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны.

Решение

Пусть прямые a и b параллельны прямой c . Если все три прямые лежат в одной плоскости, то утверждение верно, т.к. в каждой плоскости выполняются все теоремы планиметрии. Если же прямые a , b и c не лежат в одной плоскости, то плоскость α , проведённая через прямую a и некоторую точку M прямой b , и плоскость β , проведённая через прямую c и точку M , пересекаются по прямой b1 , параллельной прямым a и c (теорема о пересекающихся плоскостях, проведенных через две параллельные прямые). Поскольку b || c (по условию) и b1 || c (по доказанному), через точку M проходят две прямые, параллельные одной и той же прямой c , поэтому прямые b и b1 совпадают, а т.к. a || b1 , то a || b .
Прислать комментарий


Задача 87230

Темы:   [ Признаки перпендикулярности ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна некоторой плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Решение

Пусть прямые a и b параллельны, причём прямая a перпендикулярна плоскости α . Докажем, что прямая b также перпендикулярна плоскости α . Рассмотрим две пересекающиеся прямые c и d плоскости α . Поскольку прямая a перпендикулярна плоскости α , она перпендикулярна прямым c и d , а т.к. прямая b параллельна прямой a , то она также перпендикулярна прямым c и d . Значит, прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости α . Следовательно, прямая b перпендикулярна плоскости α .
Прислать комментарий


Задача 87233

Темы:   [ Признаки перпендикулярности ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что две различные плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

Решение

Пусть различные плоскости α и β перпендикулярны прямой h . Поскольку через точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, плоскости α и β пересекают прямую h в различных точках A и B . Предположим, что эти плоскости имеют общую точку M . Проведём плоскость γ через прямую h и точку M . Поскольку прямая h перпендикулярна плоскостям α и β , проведённая плоскость пересекает плоскости α и β по прямым MA и MB , перпендикулярным прямой h . Таким образом, в плоскости γ через точку M проведены две различные прямые, перпендикулярные одной и той же прямой h . Что невозможно. Следовательно, плоскости α и β не имеют общих точек, т.е. параллельны.
Прислать комментарий


Задача 87628

Темы:   [ Свойства сечений ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Точка K лежит на ребре AB пирамиды ABCD . Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K параллельно прямым BC и AD .

Решение

Плоскость ABD проходит через прямую AD , параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку K . Значит, плоскость ABD и секущая плоскость пересекаются по прямой, проходящей через точку K параллельно AD . Аналогично, секущая плоскость пересекается с плоскостями ABC и BDC по прямым, параллельным BC , а с плоскостью ADC – по прямой, параллельной AD . Пусть L , M и N – точки пересечения секущей плоскости с рёбрами BD , CD и AC соответственно. Тогда искомое сечение – параллелограмм KLMN .
Прислать комментарий


Задача 109048

Темы:   [ Параллельность прямых и плоскостей ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Прямые a и b параллельны. Плоскость, проходящая через прямую a , и плоскость, проходящая через прямую b , пересекаются по прямой c . Докажите, что прямая c параллельна каждой из прямых a и b .

Решение

Обозначим указанные плоскости через α и β соответственно. Прямая a параллельна прямой b , лежащей в плоскости β , поэтому прямая a параллельна плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости). Через прямую a , параллельную плоскости β , проходит плоскость α , пересекающая плоскость β по прямой c . Следовательно, прямая c параллельна прямой a (необходимое условие параллельности прямой и плоскости). Аналогично, прямая c параллельна прямой b .
Прислать комментарий


Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 63]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .