Информация о задаче

Задача 101871

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Пусть K — точка пересечения его диагоналей. Известно, что BC > AB > BK, KC = $\sqrt{7}$ - 1, косинус угла KBC равен ${\frac{\sqrt{7} + 1}{4}}$ , а периметр треугольника BKC равен 2 $\sqrt{7}$ + 4. Найдите DC.

Решение

Обозначим $\angle$ KBC = $\alpha$ , BK = x, BC = y. Пусть P = 2 $\sqrt{7}$ + 4 — периметр треугольника BKC. Тогда

x + y = P - KC = 2 $\displaystyle \sqrt{7}$ + 4 - ( $\displaystyle \sqrt{7}$ - 1) = 5 + $\displaystyle \sqrt{7}$ .

По теореме косинусов

KC² = BK² + BC² - 2^.BK^.BC^.cos $\displaystyle \alpha$ , или ( $\displaystyle \sqrt{7}$ - 1)² = x² + y² - 2xy^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{7}+1}{4}}$ .

Поскольку

x² + y² = (x + y)² - 2xy = (5 + $\displaystyle \sqrt{7}$ )² - 2xy = 32 + 10 $\displaystyle \sqrt{7}$ - 2xy,

то из второго из полученных уравнений находим, что

xy = $\displaystyle {\frac{24(2+\sqrt{7})}{5+\sqrt{7}}}$ = 4(1 + $\displaystyle \sqrt{7}$ ).

Из системы

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x+y= 5+\sqrt{7}\\ xy=4(1+\sqrt{7})\\ x<y \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} x+y= 5+\sqrt{7}\\ xy=4(1+\sqrt{7})\\ x<y \end{array}$

находим, что x = 1 + $\sqrt{7}$ , y = 4. Значит, BK = x = 1 + $\sqrt{7}$ , BC = 4.

Поскольку

BK² + KC² = (1 + $\displaystyle \sqrt{7}$ )² + ( $\displaystyle \sqrt{7}$ - 1)² = 16 = BC²,

то треугольник BKC — прямоугольный, $\angle$ BKC = 90^o. Значит, диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны.

Докажем, что если диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны.

Действительно, пусть диагонали AC и BD такого четырёхугольника ABCD персекаются в точке K. По теореме Пифагора

AB² + CD² = (KA² + KB²) + (KC² + KD²) = (KA² + KD²) + (KB² + KC²) = AD² + BC².

Пусть для четырёхугольника ABCD из нашей задачи AB = a, BC = y, CD = c и AD = d. Поскольку в него можно вписать окружность, то a + c = y + d. Кроме того, по доказанному a² + c² = y² + d². Тогда

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} a+c=y+d\\ a^{2}+c^{2}=y^{2}+d^{2}\\ y>a \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} a+c=y+d\\ a^{2}+c^{2}=y^{2}+d^{2}\\ y>a \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} a-y=d-c\\ a^{2}-y^{2}=d^{2}-c^{2}\\ y>a \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} a-y=d-c\\ a^{2}-y^{2}=d^{2}-c^{2}\\ y>a \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} a-y=d-c\\ (a-y)(a+y)=(d-c)(d+c)\\ y>a \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} a-y=d-c\\ (a-y)(a+y)=(d-c)(d+c)\\ y>a \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} a-y=d-c\\ (a-y)(a+y)=(a-y)(d+c)\\ y>a \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} a-y=d-c\\ (a-y)(a+y)=(a-y)(d+c)\\ y>a \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} a-y=d-c\\ a+y=d+c\\ y>a \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} a-y=d-c\\ a+y=d+c\\ y>a \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} a=d\\ y=c\\ y>a. \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} a=d\\ y=c\\ y>a. \end{array}$

Следовательно, CD = c = y = BC = 4.

Применив теорему косинусов, найдите стороны треугольника BKC. Докажите, что AC $\perp$ BD. Докажите также, что если диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3961