ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 101882
Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через вершины A, B и C параллелограмма ABCD со сторонами AB = 3 и BC = 5 проведена окружность, пересекающая прямую BD в точке E, причём BE = 9. Найдите диагональ BD.

Подсказка

Используя теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма и теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд, составьте систему уравнений относительно диагоналей параллелограмма.

Решение

Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке O. Обозначим OB = OD = x, AO = OC = y. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2.

По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд

BO . OE = AO . OC.

Таким образом, получим систему

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll}
4x^{2}+4y^{2} = 2\cdot 34\\
x(9-x) = y^{2}x, \\
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll}
4x^{2}+4y^{2} = 2\cdot 34\\
x(9-x) = y^{2}x, \\
\end{array}$

или

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll}
x^{2}+y^{2} = 17\\
9x = x^{2}+y^{2}. \\
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll}
x^{2}+y^{2} = 17\\
9x = x^{2}+y^{2}. \\
\end{array}$

Отсюда находим, что BD = 2x = $ {\frac{34}{9}}$.

Ответ

$ {\frac{34}{9}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3621

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .