Задача 101895

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Подобные фигуры ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найдите сумму длин второй и третьей окружностей, если радиус первой равен 1, а площадь круга, ограниченного четвёртой окружностью, равна 64π .

Решение

Поскольку площадь круга, ограниченного четвёртой окружностью, равна 64π , то радиус четвёртой окружности равен 8. Пусть r и R — радиусы второй и третьей окружности соответственно. Заметим, что фигуры, состоящие из двух соседних окружностей, попарно подобны. Пэтому = = , откуда находим, что r=2 , R=4 . Следовательно, сумма длин второй и третьей окружностей равна 2π (r+R) = 2π· 6 = 12π .

Ответ

12π .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3634