Информация о задаче

Задача 102264

Темы:	[	Формулы для площади треугольника	]
Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса 3 проходит через середины трёх сторон треугольника ABC, в котором углы при вершинах A и B равны 60^o и 45^o соответственно. Найдите площадь треугольника.

Подсказка

Докажите, что площадь треугольника можно вычислить по формуле

S = 2R²sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ ,

где R — радиус описанной около треугольника окружности, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ — углы треугольника.

Решение

Докажем сначала, что площадь треугольника можно вычислить по формуле

S = 2R²sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ ,

где R — радиус описанной около треугольника окружности, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ — углы треугольника. Пусть a, b, c — стороны треугольника, противолежащие углам $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ соответственно. По теореме синусов a = 2R sin $\alpha$ , b = 2R sin $\beta$ . Следовательно,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab^.sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2R sin $\displaystyle \alpha$ ^.2R sin $\displaystyle \beta$ ^.sin $\displaystyle \gamma$ = S = 2R²sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ .

Пусть K, L и M — середины сторон соответственно AB, BC и AC треугольника ABC. Тогда треугольник ABC подобен треугольнику LMK с коэффициентом 2. По доказанной выше формуле

S_LKM = 2^.3²sin 60^osin 45^osin 75^o = 2^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{9(3+\sqrt{3})}{4}}$ .

Следовательно,

S_ABC = 4S_LKM = 9(3 + $\displaystyle \sqrt{3}$ ).

Ответ

9(3 + $\sqrt{3}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3691