ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102322
Темы:    [ Площадь четырехугольника ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Площадь четырёхугольника PQRS равна 48. Известно, что PQ = QR = 6, RS = SP и ровно три вершины P, Q и R лежат на окружности радиуса 5. Найдите стороны RS и SP.
Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Пусть QD — диаметр окружности. Тогда SPQRD = 48 = SPQRS. Используя этот факт, докажите что точки Q и S лежат по одну сторону от прямой RP.
Также доступны документы в формате TeX, TeX

Решение

Поскольку PQ = QR и RS = SP, то точки Q и S лежат на серединном перпендикуляре к отрезку PR. Поэтому прямая QS проходит через центр данной окружности. Рассмотрим случай, когда точки Q и S лежат по разные стороны от прямой RP (рис.1). Если QD — диаметр окружности, то $ \angle$QRS = 90o. Поэтому

DR = $\displaystyle \sqrt{QD^{2}-QR^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{100-36}$ = 8.

В этом случае

SPQRD = 2 . SQRD = 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . QR . RD = 48 = SPQRS.

Это значит, что точка S совпадает с точкой D, что невозможно, поскольку по условию задачи ровно три вершины четырёхугольника PQRS лежат на данной окружности. Остаётся случай, когда точки Q и S лежат по одну сторону от прямой RP (рис.2). Пусть E — середина PR. Поскольку треугольник PQR вписан в окружность радиуса 5, то

sin$\displaystyle \angle$QRP = $\displaystyle {\frac{QP}{2\cdot 5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$,

поэтому

QE = QR . sin$\displaystyle \angle$QRP = 6 . $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{18}{5}}$ER = QR . cos$\displaystyle \angle$QRP = 6 . $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{24}{5}}$,

а т.к. SPQRS = $ {\frac{1}{2}}$ . SQ . PR, то

SQ = 2 . $\displaystyle {\frac{S_{PQRS}}{2\cdot ER}}$ = 2 . $\displaystyle {\frac{48}{\frac{48}{5}}}$ = 10.

По теореме косинусов из треугольника SQR находим, что

SR2 = SQ2 + QR2 - 2 . SQ . QR . cos$\displaystyle \angle$SQR = 100 + 36 - 120 . cos(90o + $\displaystyle \angle$QRP) =

= 136 + 120 . sin$\displaystyle \angle$QRP = 136 + 120 . $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ = 136 + 72 = 208.

Следовательно, SR = $ \sqrt{208}$ = 4$ \sqrt{13}$.


Также доступны документы в формате TeX, TeX

Ответ

4$ \sqrt{13}$.
Также доступны документы в формате TeX, TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3749

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .