|
|
 |
Условие
На окружности радиуса 5, описанной около правильного треугольника, взята точка D. Известно, что расстояние от точки D до одной из вершин треугольника равно 9. Найдите сумму расстояний от точки D до двух других вершин треугольника.
Подсказка
Пусть расстояние от вершины A треугольника ABC до точки D равно 9. Докажите, что точка D лежит на меньшей дуге BC и BD + CD = AD.
Решение
Пусть расстояние от вершины A треугольника ABC до точки D равно 9. Заметим, что BC = 5. Поскольку AD = 9 > BC, то точка D лежит на меньшей дуге BC.
Отложим на луче AD отрезок AK, равный BD. Тогда треугольник AKC равен треугольнику BDC по двум сторонам и углу между ними
(∠KAC = ∠DAC = ∠DBC как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Поэтому CK = CD,
а так как ∠KDC = ∠ADC = ∠B = 60°, то треугольник CKD – правильный, значит, DK = DC.
Поскольку AK = BD < BC < AD, то точка K лежит на отрезке AD. Следовательно,
BD + CD = AK + KD = AD = 9.
Ответ
9.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3771 |
