ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102363
Темы:    [ Удвоение медианы ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) взята точка O так, что OA = OB = b. В треугольнике ABC CD — высота, точка E— середина отрезка OC, DE = a. Найдите CE.
Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Достройте данный треугольник до прямоугольника и воспользуйтесь утверждением: "Суммы квадратов расстояний от произвольной точки до противоположных вершин прямоугольника равны".
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть M и N — проекции точек соответственно O и E на гипотенузу AB. Заметим, что M середина AB. Поскольку EN$ \Vert$OM$ \Vert$CD и E — середина OC, то EN — средняя линия трапеции COMD, поэтому N — середина отрезка MD. Высота EN треугольника DEM является его медианой, поэтому треугольник DEM — равнобедренный. Следовательно, EM = ED = a. На продолжении отрезка CM за точку M отложим отрезок MF, равный CM. Тогда ACBF — прямоугольник, EM — средняя линия треугольника COF, OF = 2 . EM = 2a. Таким образом, нам известны расстояния от точки O до трёх вершин прямоугольника ACBF. Поскольку OC2 + OF2 = OA2 + OB2, то

OC2 = OA2 + OB2 - OF2 = b2 + b2 - 4a2 = 2b2 - 4a2.

Следовательно, CE = $ {\frac{1}{2}}$OC = $ {\frac{1}{2}}$$ \sqrt{2b^{2}-4a^{2}}$.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

$ {\frac{1}{2}}$$ \sqrt{2b^{2}-4a^{2}}$.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3791

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .