ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102410
Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник KLM с основанием KM, равным $ {\frac{\sqrt{3}}{2}}$, и стороной KL, равной 1. Через точки K и L проведена окружность, центр которой лежит на высоте LF, опущенной на основание KM. Известно, что FM = $ {\frac{\sqrt{3}}{6}}$. и точка F лежит на KM. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.


Подсказка

Опустите из центра O указанной окружности перпендикуляр OA на хорду KL и рассмотрите прямоугольные треугольники FKL и AOL.


Решение

Поскольку точка F лежит на отрезке KM, то

KF = KM - FM = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{6}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{3}}$.

Опустим из центра O указанной окружности радиуса R перпендикуляр OA на хорду KL. Тогда A — середина KL. Обозначим $ \angle$FLK = $ \alpha$. Из прямоугольного треугольника FKL находим, что sin$ \alpha$ = $ {\frac{FK}{KL}}$ = $ {\frac{\sqrt{3}}{3}}$. Тогда cos$ \alpha$ = $ \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Из прямоугольного треугольника OAL находим, что

R = OL = $\displaystyle {\frac{AL}{\cos \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{2}{3}}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}$.

Следовательно, площадь круга равна $ \pi$R2 = $ {\frac{3}{8}}$$ \pi$.


Ответ

$ {\frac{3}{8}}$$ \pi$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3832

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .