ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102439
Темы:    [ Замечательное свойство трапеции ]
[ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Точки L и M являются соответственно серединами сторон BC и AD. Отрезок LM содержит точку K. Четырёхугольник ABCD таков, что в него можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если AB = 3, AC = $ \sqrt{13}$ и LK : KM = 1 : 3.


Подсказка

Докажите, что AD$ \Vert$BC. Обозначьте BC = x, выразите через x стороны трапеции ABCD и с помощью теоремы косинусов составьте уравнение относительно x.


Решение

Докажем, что BC$ \Vert$AD. Предположим, что это не так, и через точку B проведём прямую, параллельную AD (рис.1). Пусть эта прямая пересекается с прямой AC в точке P. Известно, что точка пересечения диагоналей и середины оснований любой трапеции лежат на одной прямой. Поэтому прямая MK пересекает отрезок BP в его середине L1. Тогда отрезок LL1 — средняя линия треугольника CBP. Значит, LL1$ \Vert$AC и LM$ \Vert$AC, а по условию LM и AC пересекаются в точке K. Противоречие получено. Таким образом, четырёхугольник ABCD — трапеция с основаниями BC и AD.

Из подобия треугольников BLK и DMK (рис.2) следует, что BL : DM = KL : KM = 1 : 3, а т.к. точки L и M — середины оснований BC и AD, то BC : AD = 1 : 3.

Обозначим BC = x. Тогда AD = 3x. Поскольку в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, т.е. BC + AD = AB + CD. Поэтому CD = BC + AD - AB = x + 3x - 3 = 4x - 3.

Через вершину C проведём прямую, параллельную стороне AB. Пусть эта прямая пересекает основание AD в точке Q. Из теоремы косинусов для треугольников ADC и QDC следует, что

cos$\displaystyle \angle$ADC = $\displaystyle {\frac{DA^{2}+DC^{2}-AC^{2}}{2\cdot DA\cdot DC}}$ = $\displaystyle {\frac{9x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2\cdot 3x(4x-3)}}$, и

 cos$\displaystyle \angle$ADC = $\displaystyle {\frac{DQ^{2}+DC^{2}-QC^{2}}{2\cdot DQ\cdot DC}}$ = $\displaystyle {\frac{4x^{2}+(4x-3)^{2}-9}{2\cdot 2x(4x-3)}}$.

Из уравнения

$\displaystyle {\frac{9x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2\cdot 3x(4x-3)}}$ = $\displaystyle {\frac{4x^{2}+(4x-3)^{2}-9}{2\cdot 2x(4x-3)}}$

находим, что x = 2 или x = $ {\frac{2}{5}}$, но при x = $ {\frac{2}{5}}$ получим, что 4x - 3 < 0. Таким образом, BC = x = 2, QD = 2x = 4, CD = 4x - 3 = 5.

Поскольку QC2 + QD2 = 9 + 16 = 25 = DC2, то треугольник CQD — прямоугольный, значит, CQ = 3 — высота трапеции. Следовательно, радиус вписанной в трапецию окружности равен $ {\frac{3}{2}}$.


Ответ

$ {\frac{3}{2}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3862

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .