ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102459
Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Пятиугольники ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно,  ∠A = 35°,  ∠D = 145°,  а площадь треугольника BCE равна 11. Найдите площадь пятиугольника ABCDE.


Решение

  Заметим, что углы BCE и CBE – острые (как половины внутренних углов выпуклого многоугольника). Поскольку углы при общей вершине C треугольников CDE и CBE равны, а   ∠CDE > ∠CBE  (один – тупой, второй – острый), то  ∠CED < ∠CEB.  Поэтому если от луча EC в полуплоскость, содержащую точку B, отложить луч под углом, равным углу CED, то отложенный луч будет лежать между сторонами угла CEB, а значит, будет пересекать отрезок BC в некоторой точке M.
  Треугольники CME и CDE равны по общей стороне EM и двум прилежащим к ней углам, а так как  ∠BME = 180° – ∠CME = 180° – 145° = 35° = ∠BAE,  то равны также треугольники BME и BAE.
  Следовательно,  SABCDE = 2SBCE = 22.


Ответ

22.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3882

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .