Задача 102472

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC  AB = c,  AC = b > c,  AD – биссектриса. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная AD и пересекающая AC в точке E.
Найдите AE.

Решение

Пусть M – середина отрезка AE. Тогда DM – медиана прямоугольного треугольника ADE, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому
∠ADM = ∠DAM = ∠BAD.  Значит,  DM || AB.  По теореме Фалеса  AM : ME = BD : CD = c : b.  Следовательно,  AE = 2AM = ^2bc/_b+c.

Ответ

^2bc/_b+c.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3895