ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102486
Темы:    [ Векторы помогают решить задачу ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC выполнено соотношение между сторонами $ {\frac{AC - AB}{BC + AB}}$ = $ {\frac{AB - BC}{AC + AB}}$. Найдите радиус описанной окружности, если расстояние от ее центра до точки пересечения медиан равно d, а длина стороны AB равна c.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Пусть AC = b, AB = c, BC = a. Из условия задачи следует, что a2 + b2 = 2c2. Пусть O — центр окружности радиуса, описанной около треугольника ABC, M — точка пересечения медиан. Вычислите скалярный квадрат вектора

$\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{M}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$($\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{A}$ + $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{B}$ + $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{C}$).


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Обозначим AC = b, AB = c, BC = a.

Из условия задачи следует, что

$\displaystyle {\frac{AC - AB}{BC + AB}}$ = $\displaystyle {\frac{AB - BC}{AC + AB}}$ = $\displaystyle {\frac{b - c}{a + c}}$ = $\displaystyle {\frac{c - a}{b + c}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ b2 - c2 = c2 - a2 $\displaystyle \Rightarrow$ a2 + b2 = 2c2.

Пусть O — центр окружности радиуса R, описанной около треугольника ABC, M — точка пересечения медиан. Тогда

$\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{M}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$($\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{A}$ + $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{B}$ + $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{C}$).

Обозначим

$\displaystyle \angle$AOB = 2$\displaystyle \gamma$ ,$\displaystyle \angle$AOC = 2$\displaystyle \beta$$\displaystyle \angle$BOC = 2$\displaystyle \alpha$.

(половина каждого из этих углов равна соответствующему углу треугольника ABC или дополняет его до 180o). Тогда

d2 = $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{M}^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$($\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{A}^{2}_{}$ + $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{B}^{2}_{}$ + $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{C}^{2}_{}$ + 2$\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{A}$ . $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{B}$ + 2$\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{A}$ . $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{C}$ + 2$\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{B}$ . $\displaystyle \overline{O}$$\displaystyle \overline{C}$) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(R2 + R2 + R2 + 2R . R . cos 2$\displaystyle \gamma$ + 2R . R . cos 2$\displaystyle \beta$ + 2R . R . cos 2$\displaystyle \alpha$) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$R2(3 + 2(cos 2$\displaystyle \gamma$ + cos 2$\displaystyle \beta$ + cos 2$\displaystyle \alpha$)) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$R2(3 + 2(1 - 2 sin2$\displaystyle \gamma$ + 1 - 2 sin2$\displaystyle \beta$ + 1 - 2 sin2$\displaystyle \alpha$)) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$R2(9 - 4(sin2$\displaystyle \gamma$ + sin2$\displaystyle \beta$ + sin2$\displaystyle \alpha$)) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$R2$\displaystyle \left(\vphantom{9-4\left(\left(\frac{c}{2R}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2R}\right)^{2}+
\left(\frac{a}{2R}\right)^{2}\right)}\right.$9 - 4$\displaystyle \left(\vphantom{\left(\frac{c}{2R}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2R}\right)^{2}+
\left(\frac{a}{2R}\right)^{2}}\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{c}{2R}}\right.$$\displaystyle {\frac{c}{2R}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{c}{2R}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{b}{2R}}\right.$$\displaystyle {\frac{b}{2R}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{b}{2R}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{2R}}\right.$$\displaystyle {\frac{a}{2R}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{2R}}\right)^{2}_{}$$\displaystyle \left.\vphantom{\left(\frac{c}{2R}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2R}\right)^{2}+
\left(\frac{a}{2R}\right)^{2}}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{9-4\left(\left(\frac{c}{2R}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2R}\right)^{2}+
\left(\frac{a}{2R}\right)^{2}\right)}\right)$ =

= R2 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ . 4 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(a2 + b2 + c2) = R2 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ . 3c2 = R2 - $\displaystyle {\frac{c^{2}}{3}}$.

Следовательно, R2 = d2 + $ {\frac{c^{2}}{3}}$.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

$ \sqrt{d^{2} - \frac{c^{2}}{3}}$.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3909

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .