ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102696
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из точки A, находящейся вне окружности с центром O, проведены две касательные AB и AC (B и C — точки касания). Отрезок AO пересекается с окружностью в точке D и с отрезком BC в точке F. Прямая BD пересекает отрезок AC в точке E. Известно, что площадь четырёхугольника DECF равна площади треугольника ABD. Найдите угол OCB.


Подсказка

Докажите, что треугольник ABC — равносторонний.


Решение

Поскольку точки A и O равноудалены от концов отрезка BC, то AO — серединный перпендикуляр к хорде BC. Отсюда следует, что AF — медиана треугольника BAC. Тогда

S$\scriptstyle \Delta$ABF = S$\scriptstyle \Delta$ACF  $\displaystyle \Rightarrow$ S$\scriptstyle \Delta$ADB + S$\scriptstyle \Delta$BDF = S$\scriptstyle \Delta$ADE + SDECF  $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ S$\scriptstyle \Delta$BDF = S$\scriptstyle \Delta$ADE  $\displaystyle \Rightarrow$ S$\scriptstyle \Delta$ADE + S$\scriptstyle \Delta$ADB = S$\scriptstyle \Delta$BDF + SDECF  $\displaystyle \Rightarrow$ S$\scriptstyle \Delta$ABE = S$\scriptstyle \Delta$BCE.

Следовательно, BE — также медиана треугольника ABC.

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

$\displaystyle \angle$ABD = $\displaystyle \angle$BCD = $\displaystyle \angle$CBD.

Поэтому BE — биссектриса треугольника ABC.

Таким образом, медиана BE треугольника ABC является его биссектрисой. Значит, треугольник ABC — равнобедренный, AB = BC, а т.к. AB = AC, то треугольник ABC — равносторонний. Следовательно,

$\displaystyle \angle$OCB = $\displaystyle \angle$OAC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$BAC = 30o.


Ответ

30o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4135

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .